Задачі
Технічний пристрій складається з двох вузлів, кожний з яких у випадкові моменти часу може відмовити, після чого миттєво починається ремонт вузла, який триває випадковий час. Потік відмов кожного вузла є найпростішим з інтенсивністю
для першого вузла і
для другого. Час ремонту вузла має
показниковий закон розподілу з параметром
для першого вузла і
для другого. Який відсоток часу обидва
вузли працюють, тільки перший, тільки
другий, обидва не працюють?Технічний пристрій складається з двох вузлів, що дублюють один одного. Постійно працює один вузол, а другий миттєво включається в роботу після виходу з ладу першого. Вузол, що відмовив одразу починає ремонтуватись. Якщо виходять з ладу обидва вузли, пристрій псується. Потік відмов кожного вузла найпростіший з параметром
,
потік відновлень також найпростіший
з параметром
.
В початковий момент часу обидва вузли
справні. Побудуйте граф станів роботи
пристрою. Знайдіть ймовірність того,
що в момент часу t
обидва вузли справні.З
найдіть
фінальні ймовірності для системи, граф
станів якої має вигляд:
Потік відмов радіотехнічного пристрою є найпростішим з інтенсивністю 0,02 відмови за годину. Знайдіть ймовірність того, що за 10 годин роботи:
а) не відбудеться жодної відмови;
б) відбудеться принаймні одна відмова;
в) відбудеться дві відмови.
Досвід показав, що в роботі ЕОМ відбувається в середньому одна помилка за 10 годин роботи. Потік помилок можна вважати найпростішим. Знайти ймовірність невірного розв’язку задачі, якщо тривалість розв’язування цієї задачі складає:
а) одну годину;
б) десять годин.
На вхід системи масового обслуговування поступає найпростіший потіr заявок на обслуговування з щільністю 4 заявки на годину. Час обслуговування має показниковий закон розподілу. Середній час обслуговування однієї заявки 15 хвилин. Знайдіть:
а) необхідну кількість каналів обслуговування для того, щоб ймовірність відмови обслуговування не перевищувала 0,01;
б) середнє число зайнятих каналів обслуговування;
в) ймовірність того, що буде зайнято не менше трьох каналів.
Скільки оборонних комплексів повинна мати оборонна система, щоб ймовірність її прориву не перевищувала 0,02, якщо на даному напрямі діє найпростіший потік цілей, в середньому 4 цілі за хвилину, а час знищення однієї цілі має показників закон розподілу з середнім значенням 2 (дві цілі за хвилину)?
В майстерні побутового обслуговування працює 3 майстри. Якщо клієнт заходить в майстерню, коли всі майстри зайняті, то він йде без обслуговування. В середньому за годину в майстерню заходить 24 клієнта. На обслуговування одного клієнта майстер витрачає в середньому 5 хвилин. Знайдіть:
а) ймовірність того, що клієнт піде без обслуговування;
б) яку частину робочого дня майстер буде зайнятим обслуговуванням клієнтів?
На АТС, що має 10 каналів, поступають виклики в середньому через 20 секунд. Розмова в середньому триває 2 хвилини. Абонент не отримує відмови лише тоді, якщо один з каналів вільний. Знайдіть:
а) відносну та абсолютну спроможність АТС;
б) середнє число зайнятих каналів;
в) ймовірність того, що довільно взятий канал буде зайнятим.
Маємо двоканальну СМО з відмовами, на вхід якої поступає найпростіший потік заявок з інтенсивністю 4 заявки за годину. Середній час обслуговування однієї заявки 48 хвилин. Кожна заявка, що обслуговується приносить дохід 100 гривень. Утримання кожного каналу обслуговування коштує 50 гривень. Вирішіть, чи є економічно вигідним збільшити число каналів СМО до трьох.
Для знищення виявлених повітряною розвідкою наземних цілей виділено наряд з 5 батарей. Число цілей представляє собою найпростіший потік з інтенсивністю 8 цілей за хвилину. В середньому одну ціль обстрілює одна батарея протягом 30 хвилин. Знайдіть:
а) чи існує усталений режим роботи даної СМО;
б) ймовірність того, що при виявленні нової цілі всі батареї будуть вільні;
в) середню довжину черги.
Залізнична каса з одним віконцем продає квітки в два напрямки. Пасажири, що бажають придбати квиток в першому напрямку приходять в середньому три за 20 хвилин, а в другому – два за 20 хвилин. Касир в середньому обслуговує трьох пасажирів за 10 хвилин. Час обслуговування показниковий. Знайдіть:
а) чи існує усталений режим роботи даної СМО;
б) ймовірність того, що при появі нового пасажира в черзі будуть знаходитись два пасажири;
в) середню довжину черги;
г) середній час знаходження пасажира в черзі та середній час, витрачений на покупку білета.
В майстерні по ремонту телевізорів працює 5 майстрів. В середньому поступає 8 телевізорів за день. Відомо, що одному майстру в середньому вдається відремонтувати 2 телевізори за день. Знайдіть:
а) середній час очікування початку ремонту;
б) середнє число телевізорів, що чекають ремонту;
в) що відбудеться з даною СМО, якщо зменшити кількість майстрів до трьох.
На контрольний пристрій поступає найпростіший потік деталей, в середньому 9,8 деталей за хвилину. В середньому час перевірки однієї деталі 6 секунд. Знайдіть:
а) ймовірність того, що деталь буде перевірена одразу;
б) середню довжину черги;
в) середній час очікування перевірки.
Морський порт має 5 причалів для розвантаження барж. В середньому протягом місяця прибуває 20 барж, а на розвантаження однієї баржі витрачається в середньому 6 днів. Знайдіть:
а) ймовірність того, що всі причали будуть вільні;
б) ймовірність того, що всі причали будуть зайняті;
в) середнє число барж, що очікують початку розвантаження;
г) середній час очікування початку розвантаження.
Продуктовий магазин має три каси для обслуговування клієнтів. Одна з них працює весь час. Якщо в черзі знаходиться більше двох покупців, то відкривається друга каса, якщо більше чотирьох, то і третя. Покупці надходять до кас у відповідності до закону Пуасона з інтенсивністю 10 осіб за годину. Час обслуговування одного клієнта в касі має показниковий закон розподілу із середнім значенням 12 хвилин. Знайдіть:
а) ймовірність того, що буде працювати тільки одна каса;
б) середнє число непрацюючих кас.
На авторемонтну станцію поступає найпростіший потік несправних машин з інтенсивністю 0,5 машини за годину. Станція має тільки одне приміщення для ремонту. На дворі станції можуть одночасно знаходитись, очікуючи ремонту, не більше трьох машин. В середньому одну машину обслуговують 2 години. Знайдіть:
а) відносну та абсолютну пропускну спроможність станції;
б) середній час простою станції;
в) на скільки зміняться всі характеристики, якщо устаткувати друге приміщення для ремонту.
Пацієнти прибувають в поліклініку до лікаря за розподілом Пуассона з інтенсивністю 5 пацієнтів за годину. В кімнаті очікування можуть розміститись не більше 3 осіб. Час огляду пацієнта лікарем є випадковою величиною, що має показниковий закон розподілу, з математичним сподіванням 15 хвилин. Знайдіть:
а) ймовірність того, що наступний пацієнт не буде чекати;
б) ймовірність того, що наступний пацієнт знайде собі вільний стілець в кімнаті очікування;
в) середній час перебування пацієнта в клініці.
В їдальні кількість місць за столами завжди достатня для розміщення осіб, що вже отримали обід. Обіди видають 4 кухарі. Одного клієнта в середньому обслуговують 4 хвилини. В середньому в їдальню приходять 2 особи за хвилину. Умови роботи їдальні дозволяють знаходитись в черзі не більше 20 осіб. Знайдіть:
а) ймовірність отримати обід;
б) середню довжину черги;
в) середній час очікування в черзі.
Стоянка для авто біля магазину має всього 5 місць. Авто прибувають на стоянку у відповідності до закону Пуассона з інтенсивністю 6 автомобілів за годину. Час перебування автомобіля на стоянці має показниковий закон розподілу із середнім 30 хвилин. Якщо вільних місць на стоянці немає, то автомобілі можуть тимчасово очікувати звільнення місця на території стоянки. Таких місць для очікування на стоянці 3. якщо і стоянка, і всі місця для очікування зайняті, то авто, що прибули, мусять шукати іншу стоянку. Знайдіть:
а) ймовірність того, що авто буде змушене шукати іншу стоянку;
б) середнє число авто на стоянці (тих, які займають місця на стоянці, і тих, що очікують місця);
в) середній час очікування місця на стоянці.
На вхід СМО з двома каналами обслуговування поступає найпростіший потік заявок з інтенсивністю
заявки за годину. Середній час
обслуговування однієї заявки 1 година.
Середній час знаходження заявки в черзі
дорівнює 0,5 години, після чого вона
покидає СМО без обслуговування. Знайдіть:
а) відносну та абсолютну спроможність СМО;
б) середнє число зайнятих каналів та середню довжину черги;
в) середній час знаходження в системі.
В магазин поступають фрукти в середньому 10 т в декаду. За декаду магазин продає в середньому 10 т фруктів. Середній час зберігання фруктів в магазині дорівнює 1,7 діб, після чого вони псуються. Знайдіть ймовірність того, що привезені фрукти не будуть продані.
Додатки
Таблиця 1.
Значення
.
k |
|
|||||
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
|
0 1 2 3 4 5 6 |
0,9048 0,0905 0,0045 0,0002
|
0,8187 0,1637 0,0164 0,0011 0,0001 |
0,7408 0,2222 0,0333 0,0033 0,0003
|
0,6703 0,2681 0,0536 0,0072 0,0007 0,0001 |
0,6065 0,3033 0,0758 0,0126 0,0016 0,0002 |
0,5488 0,3293 0,0988 0,0198 0,0030 0,0004
|
k |
|
|||||
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
0,4966 0,3176 0,1217 0,0284 0,0050 0,0007 0,0001 |
0,4493 0,3595 0,1438 0,0383 0,0077 0,0012 0,0002 |
0,4066 0,3659 0,1647 0,0494 0,0111 0,0020 0,0003 |
0,3679 0,3679 0,1839 0,0613 0,0153 0,0031 0,0005 0,0001 |
0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002 |
0,0498 0,1494 0,2240 0,2240 0,1680 0,1008 0,0504 0,0216 0,0081 0,0027 0,0008 0,0002 0,0001 |
k |
|
|||||
4,0 |
5,0 |
6,0 |
7,0 |
8,0 |
9,0 |
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 |
0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132 0,0053 0,0019 0,0006 0,0002 0,0001 |
0,0067 0,0337 0,0842 0,1404 0,1755 0,1755 0,1462 0,1044 0,0653 0,0363 0,0181 0,0082 0,0034 0,0013 0,0005 0,0002 |
0,0025 0,0149 0,0446 0,0892 0,1339 0,1606 0,1606 0,1377 0,1033 0,0688 0,0413 0,0225 0,0113 0,0052 0,0022 0,0009 0,0003 0,0001 |
0,0009 0,0064 0,0223 0,0521 0,0912 0,1277 0,1490 0,1490 0,1304 0,1014 0,0710 0,0452 0,0264 0,0142 0,0071 0,0033 0,0014 0,0006 0,0002 0,0001 |
0,0003 0,0027 0,0107 0,0286 0,0573 0,0916 0,1221 0,1396 0,1396 0,1241 0,0993 0,0722 0,0481 0,0296 0,0169 0,0090 0,0045 0,0021 0,0009 0,0004 0,0002 0,0001 |
0,0001 0,0011 0,0050 0,0150 0,0337 0,0607 0,0911 0,1171 0,1318 0,1318 0,1186 0,0970 0,0728 0,0504 0,0324 0,0194 0,0109 0,0058 0,0029 0,0014 0,0006 0,0003 0,0001 |
Таблиця 2.
Значення функції
.
k |
|
|||||
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
|
0 1 2 3 4 5 6 |
0,9048 0,9953 0,9998 1,000 1,000 1,000 1,000 |
0,8187 0,9825 0,9989 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 |
0,7408 0,9631 0,9964 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 |
0,6703 0,9384 0,9921 0,9992 0,9999 1,0000 1,0000 |
0,6065 0,9098 0,9856 0,9982 0,9996 1,0000 1,0000 |
0,5488 0,8781 0,9769 0,9966 0,9996 1.0000 1,0000 |
k |
|
|||||
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
0,4966 0,8442 0,9659 0,9942 0,9992 0,9999 1,0000 |
0,4493 0,8088 0,9526 0,9909 0,9986 0,9998 1,0000 |
0,4066 0,7725 0,9371 0,9865 0,9977 0,9997 1,0000 |
0,3679 0,7358 0,9197 0,9810 0,9963 0,9994 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 |
0,1353 0,4060 0,6767 0,8571 0,9473 0,9831 0,9955 0,9989 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 |
0,0498 0,1991 0,4232 0,6472 0,8153 0,9161 0,9665 0,9881 0,9962 0,9989 0,9997 0,9999 1,0000 |
k |
|
||||||
4,0 |
5,0 |
6,0 |
7,0 |
8,0 |
9,0 |
||
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 |
0,0183 0,0916 0,2381 0,4335 0,6288 0,7851 0,8893 0,9489 0,9786 0,9919 0,9972 0,9997 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 |
0,0067 0,0404 0,1247 0,2650 0,4405 0,6160 0,7622 0,8666 0,9318 0,9682 0,9863 0,9945 0,9980 0,9992 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 |
0,0025 0,0174 0,0620 0,1512 0,2851 0,4457 0,6063 0,7440 0,8472 0,9161 0,9574 0,9799 0,9912 0,9964 0,9986 0,9995 0,9998 0,9994 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 |
0,0009 0,0073 0,0296 0,0817 0,1730 0,3007 0,4497 0,5987 0,7291 0,8305 0,9015 0,9467 0,9730 0,9872 0,9943 0,9976 0,9990 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 |
0,0003 0,0030 0,0138 0,0424 0,0996 0,1912 0,3134 0,4530 0,5925 0,7166 0,8159 0,8881 0,9362 0,9658 0,9824 0,9918 0,9963 0,9984 0,9994 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 |
0,0001 0,0012 0,0062 0,0212 0,0550 0,1157 0,2068 0,3239 0,4557 0,5874 0,7070 0,8030 0,8758 0,9261 0,9585 0,9780 0,9889 0,9947 0,9976 0,9990 0,9996 0,9998 0,9999 |
|