3. Вхідний потік заявок

Вхідним потоком ми назвали сукупність заявок, що поступають в систему обслуговування, взагалі кажучи, у випадкові моменти часу. Будемо вважати, що заявки однорідні, тобто відрізняються один від одного тільки моментами появи в СМО. Розглянемо деякі моделі потоків заявок.

1. Регулярний потік. Це потік, в якому заявки поступають по одній через строго визначені проміжки часу. Прикладом такого потоку є конвеєр. Регулярний потік не є самим зручним для математичних досліджень і на практиці він зустрічається рідко.

2. Потік Пальма (потік з обмеженою післядією). Це потік заявок, що поступають у випадкові моменти часу таким чином, що інтервали часу між появою двох сусідніх заявок є незалежними, однаково розподіленими випадковими величинами.

3. Найпростіший потік. Це потік заявок, що задовольняє властивості стаціонарності, ординарності та відсутності післядії:

а) Потік заявок називається ординарним, якщо ймовірність того, що за малий проміжок часу поступить більше ніж одна заявка, нехтовно мала в порівнянні з тим, що за цей проміжок часу з’явиться одна заявка. Іншими словами заявки поступають по одній, а не парами, трійками і т.д.

б) Потік заявок називається потоком без післядії, якщо для довільних двох інтервалів часу, що не перетинаються, число заявок, що поступили за один з них не залежить від того, скільки заявок поступило за другий інтервал.

в) Потік заявок називається стаціонарним, якщо ймовірність появи того чи іншого числа заявок на певному інтервалі часу залежить лише від довжини цього інтервалу і не залежить від того, де на часовій осі він знаходиться.

Припущення, що вхідний потік є найпростіший, значно спрощує дослідження СМО. Зупинимось докладніше на цьому потоці.

Потік заявок може бути заданим випадковим процесом Х(t), що дорівнює числу заявок, які поступили в СМО на проміжку часу , де момент часу t = 0 приймається за початковий. Очевидно, що випадковий процес Х(t) неперервно залежить від часу і приймає цілочислові невід’ємні значення 0, 1, 2, … Можна показати, що якщо вхідний потік заявок найпростіший, то випадковий процес Х(t) є процесом Пуассона, тобто задовольняє наступні умови:

1. випадковий процес Х(t) має незалежні прирости, це означає що для довільних моментів часу прирости утворюють систему незалежних величин;

2. випадковий процес Х(t) однорідний, тобто закон розподілу довільного приросту залежить тільки від довжини проміжку τ і не залежить від його розміщення на числовій осі.

3. кожний приріст має закон розподілу Пуассона

, (1.1)

де λ – середнє число заявок, що поступили за одиницю часу. Будемо називати λ інтенсивністю потоку.

Оскільки процес Пуассона Х(t) однорідний і , з формули (1.1) маємо:

(1.2)

Процес Пуассона належить до класу марковських процесів. Це означає, що для довільного набору моментів часу умовний закон розподілу відносно значень , , … , залежить тільки від значення і не залежить від значень , , … , (якщо відомо теперішнє, то майбутнє не залежить від минулого).

Інтервал часу Т між двома сусідніми заявками в найпростішому потоці має показниковий закон розподілу з параметром λ.

Найпростіший потік є частинним випадком потоку Пальма.