2. Усталений режим роботи смо з очікуванням

Аналогічно до СМО з відмовами, можна довести, що СМО з очікуванням при великих t працює в усталеному режимі, тобто існують фінальні ймовірності:

,

а .

Переходячи до границі при в системі Ерланга, отримуємо нескінчену алгебраїчну систему:

. (3.1)

Умова нормування приймає вигляд: .

Для розв’язання системи (3.1) зробимо заміну:

.

Звідси,

,

,

.

Система (3.1) приймає вигляд:

.

Отже, , де – це щільність завантаження системи. Звідси отримуємо:

; ; … , ;

, .

Для знаходження використовуємо умову нормування:

.

Звідки

. (3.2)

Нескінчений ряд збігається тоді і тільки тоді, коли виконується умова:

. (3.3)

Якщо ця умова не виконується, тобто , то сума ряду буде нескінченна і . Але в цьому випадку всі ймовірності також будуть дорівнювати нулю, тобто ймовірність того, що в СМО немає жодної заявки, або знаходиться скінчене число заявок, дорівнює нулю. Проаналізуємо цей факт. Оскільки – середнє число заявок, які може обслужити СМО за одиницю часу, то , – це відношення середнього числа заявок, що надійшли в СМО до середнього числа заявок, які СМО здатна обслужити при умові неперервної роботи. Тому величина називається завантаженням системи.

Якщо завантаження системи менше 1, тобто виконується умова (3.3), то СМО справляється зі своєю роботою, хоча час від часу буде виникати черга. Якщо умова (3.3) не виконується, то черга буде необмежено зростати, і з часом СМО не буде справлятись з роботою.

Припустимо, що , тоді сума ряду може бути знайдена як сума членів нескінченої спадної геометричної прогресії:

.

Формула (3.2) прийме вигляд:

(3.4)

Фінальні ймовірності шукаються за формулами:

. (3.5)

Знайдемо ймовірність зайнятості всіх n каналів. Ця подія відбувається, якщо в системі знаходиться заявок. Отже, дана ймовірність дорівнює:

. (3.6)

Ймовірність називають ймовірністю очікування. Чим завантаження системи буде меншим, тим меншою буде ймовірність очікування.

Середню довжину черги знайдемо як математичне сподівання заявок, що знаходяться в черзі. Нехай випадкова величина Х – це число заявок, що знаходяться в черзі. Значення, які приймає випадкова величина Х та ймовірності цих значень утворюють наступний ряд:

Х	0	1	2	…	m	…
р	p0+ p1+…+pn	pn+1	pn+2	…	pn+m	…

Отже, середня довжина черги дорівнює:

.

Для обчислення цієї суми розглянемо ряд, складений з членів нескінченої спадної геометричної прогресії:

.

Знайдемо похідні від обох частин:

.

Отже,

. (3.7)

З цієї формули видно, що з ростом завантаження системи до одиниці середня довжина черги зростає до нескінченності.

Оскільки в СМО з очікуванням всі заявки, що надійшли в систему обслуговуються, то , абсолютна пропускна спроможність СМО, тобто середнє число заявок, що обслуговує СМО за одиницю часу . Середнє число зайнятих каналів дорівнює:

. (3.8)

Середнє число заявок в СМО дорівнює сумі середнього числа заявок в черзі та середнього числа заявок, що обслуговуються (середнє число зайнятих каналів):

. (3.9)