Нормальная форма Жордана.

Жорданова нормальная форма возникла из попыток получить с помощью преобразования подобия диагональную матрицу. В жордановой нормальной форме собственные значения располагаются на диагонали, но некоторые наддиагональные элементы равны единице, а не нулю. Функция jordan строит нормальную жорданову форму и имеет два формата:

• J=jordan(A) возвращает жорданову нормальную форму J;

• [V,J] = jordan(A) вычисляет как жорданову форму J, так и матрицу трансформации V, столбцами которой являются обобщенные собственные векторы. Более точно, V\A*V=J.

Рассмотрим пример:

A = [12, 32, 66, 116; -25, -76, -164, -294;...

21, 66, 143, 256; -6, -19, -41, -73]

A =

12 32 66 116

-25 -76 -164 -294

21 66 143 256

-6 -19 -41 -73

[V, J] = jordan(A)

V =

4 -2 4 3

-6 8 -11 -8

4 -7 10 7

-1 2 -3 -2

J =

1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 2 1

0 0 0 2

Очевидно, что матрица A имеет собственные значения 1 и 2, каждое из которых имеет кратность два. Матрица имеет только два собственных вектора: V(:, 1) и V(:, 3), которые удовлетворяют соотношениям:

A*V(:, 1) = 1*V(:, 1)

A*V(:, 3) = 2*V(:, 3)

Два других столбца матрицы V являются обобщенными собственными векторами, удовлетворяющими соотношениям:

A*V(:, 2) = 1*V(:, 2) + V(:, 1)

A*V(:, 4) = 2*V(:, 4) + V(:, 3)

Или в математической нотации:

(A-₂I)v₄=v₃

(A-₁I)v₂=v₁

Разложение Шура.

С помощью функции schur можно представить матрицу A в виде произведения: A=USU’, где U – унитарная матрица, а S – матрица Шура. Действительная форма Шура имеет действительные собственные значения на диагонали, а комплексные собственные значения представлены 2x2 блоками, занимающими нижнюю поддиагональ. Для матрицы A из предыдущего примера имеем:

[U, S] = schur(A)

U =

0.4815 -0.8033 -0.3476 0.0440

-0.7223 -0.1404 -0.6539 0.1759

0.4815 0.5421 -0.5300 0.4398

-0.1204 -0.2028 0.4131 0.8796

S =

1.0000 -2.2351 -33.6613 470.5067

0.0000 1.0000 -5.9193 118.5827

0 0 2.0000 -16.7473

0 0 0 2.0000

Сингулярное разложение.

Скаляр  и векторы u, v называются сингулярным значением и сингулярными векторами прямоугольной матрицы A, если выполняются соотношения:

Av = u и A’u = v.

Эти соотношения можно переписать в виде:

AV = U и A’U = V,

Где  – диагональная матрица, элементами которой являются сингулярные значения , U и V – ортогональные матрицы, столбцы которых образуют соответствующие сингулярные векторы u и v. В силу ортогональности матриц U и V справедливо разложение:

A = UV’

Сингулярное разложение проводится с помощью функции svd. Рассмотрим пример:

A =[9 4; 6 8; 2 7]

A =

9 4

6 8

2 7

[U, S, V] = svd(A)

U =

-0.6105 0.7174 0.3355

-0.6646 -0.2336 -0.7098

-0.4308 -0.6563 0.6194

S =

14.9359 0

0 5.1883

0 0

V =

-0.6925 0.7214

-0.7214 -0.6925