33. В чем заключается отличие критерия идеального наблюдателя от критерия максимума апостериорной вероятности; что общего у этих критериев?

максимум апостериорной вероятности

П о этому критерию при полученном значении выборки Y принимается та гипотеза, при которой апостериорная вероятность максимальна.

Д ля случая двухальтернативной ситуации сравниваются два значения апостериорной вероятности

и

О бычно рассматривается отношение этих величин и правило принятия решения записывается в виде:

Если , то

Если ,то

критерий идеального наблюдателя

Согласно данному критерию принимается та гипотеза, при которой обеспечивается минимум общей ошибки принятия решения.

При решении задачи обнаружения сигнала могут иметь место ошибки двух родов:

1) при отсутствии полезного сигнала Y вектор принятого сигнала оказывается в области v₁ и принимается в соответствии с этим гипотеза H₁,

2) при наличии полезного сигнала вектор Y оказывается в области v₀ и принимается гипотеза H₀.

условие оптимального решения по критерию идеального наблюдателя имеет вид

З начения ошибок первого и второго рода

О шибку второго рода можно представить в виде

П одставив значение , получим

Т огда критерий Котельникова может быть следующим образом выражен через отношение правдоподобия:

Е сли , то

Если ,то

Таким образом, правила решения, соответствующие критериям идеального наблюдателя и максимума апостериорной вероятности, совпадают. Отличие заключается лишь в исходных условиях.

33. В чем заключается сущность критерия Неймана — Пирсона и в каких случаях целесообразно этот критерий применять?

критерий Неймана—Пирсона можно сформулировать следующим образом: наилучшим решением является такое, при котором обеспечивается наименьшая вероятность ошибки второго рода при заданной допустимой вероятности ошибки первого рода.

И так, согласно критерию Неймана—Пирсона должно быть обеспечено

П ри где - наперед заданная величина.

З адача может быть решена методом Лагранжа отыскания условного экстремума.

У словные вероятности ошибок первого и второго рода будут представлены в виде

Т огда для отыскания условного экстремума должна быть составлена вспомогательная функция

Т аким образом

д анный критерий будет справедлив при где пороговое значение

определяется из равенства

И так, правило принятия решения согласно критерию Неймана— Пирсона может быть записано в виде:

Е сли ,то

Если ,то

Данный критерий основан на том, что ошибки первого и второго рода не одинаково опасны, причем ошибка первого рода приводит к таким последствиям, что ее веро­ятность необходимо ограничить некоторой очень малой величиной. Вторую ошибку желательно при этом обеспечить минимальной.

33. Что понимается под риском?

Статистический риск часто сводится к вероятности некоторого нежелательного события. Обычно вероятность такого события и некоторая оценка его ожидаемого вреда объединяется в один правдоподобный результат, который комбинирует набор вероятностей риска, сожаления и вознаграждения в ожидаемое значение для данного результата. (См. также Ожидаемая полезность).

Таким образом, в статистической теории принятия решений, функция риска оценки δ(x) для параметра θ, вычисленная при некоторых наблюдаемых x; определяется как математическое ожидание функции потерь L,

где: δ(x) = оценка, θ = параметр оценки.