1.Пра́вила зна́ков (в оптике) — правила определения знаков величин и направлений, принятые при расчёте оптических систем, а также при изображении (и чтении) оптических схем.

При расчёте и анализе оптических систем, положительным направлением (прямым ходом луча) вдоль оптической оси считается направление света слева направо, преломляющие и отражающие поверхности и разделяющие их среды нумеруются по порядку их следования в направлении распространения света, а оптическую систему принято изображать так, чтобы её первая (входная) поверхность располагалась на рисунке (чертеже, схеме) слева.

К тому же, при расчёте принято придерживаться некоторых правил, которые, так же, отражаются на схемах, чертежах и рисунках:

1.угол луча с оптической осью считается положительным, если луч, пересекающий ось, идёт сверху вниз, и отрицательным, если снизу вверх;

2.линейные величины предмета и изображения, а также отрезки высот лучей считаются положительными, если они расположены над осью, и отрицательными, если под нею;

3.радиус кривизны поверхности считается положительным, если её центр находится справа от поверхности, и отрицательным — если слева от поверхности, то есть отсчёт производится от поверхности к центру;

4.величины толщин и воздушных промежутков между преломляющими поверхностями при движении света слева направо всегда считаются положительными;

5.углы между лучом и нормалью к поверхности в точках падения луча ε и ε' (углы падения и преломления) считаются положительными, если нормаль, чтобы совпасть с направлением луча, должна быть повёрнута по ходу часовой стрелки;

6.угол φ между нормалью и оптической осью считается положительным, если оптическая ось, чтобы совпасть с нормалью, должна быть повёрнута по ходу часовой стрелки;

7.при отражении на поверхности изменяется знак у показателя преломления n', угла отражения ε' и величины расстояния между отражающей поверхностью и следующей (при движении света справа налево);

8.фокусные расстояния считаются положительными по направлению света от главных плоскостей;

9.при преломлении и отражении лучей на сферической поверхности за начало отсчёта отрезка принимается вершина поверхности (точка 0). Отрезки считаются положительными, если они откладываются вдоль оси справа от точки 0 по направлению распространения света, и отрицательными, когда откладываются слева от точки 0. В случае отрицательных значений указанных величин перед ними ставится знак минус.

Одноимённые (соответственные) и сопряжённые точки, отрезки и углы в пространстве предметов и пространстве изображений обозначаются одинаковыми буквами. Исключение, здесь, делается для точек переднего F и заднего F' фокусов которые обозначаются одинаковой буквой хотя и не сопряжены друг с другом.

Обозначения относящиеся к пространству изображений, обозначаются знаком "штрих" сверху каждой буквы. Например, обозначение задней главной плоскости  указывает, что данная плоскость принадлежит, именно, пространству изображений.

2. Знаки отрезков и углов. На чертежах и рисунках всегда указывают знак отрезков и углов. При оптических расчетах считается, что после каждой отражающей поверхности показатель преломления, осевое расстояние и угол отражения меняют знак на противоположный Угол между лучом и оптической осью считается положительным, если для совмещения оси с лучом ось нужно вращать по часовой стрелке. Углы σ' и σ - классический пример. Но также можно обратить внимание на углы, которые отмеряются от нормали к поверхности. Правило применяется и в этом случае, но системой отсчета является нормаль - ε' и ε, соответственно, если она вращается по часовой стрелке, то угол - положителен.Отрезки, перпендикулярные оптической оси считаются положительными, если они располагаются над осью. Пример - отрезки h, y - положительные, y' - отрицательный.

3.Линзовые системы.Хорошим примером линзовой системы может послужить объектив.Объектив — оптическое устройство, предназначенное для создания действительного оптического изображения. В оптике рассматривается как равнозначное собирающей линзе, хотя может иметь иной вид, например см. «Камера-обскура». Обычно объектив состоит из набора линз (в некоторых объективах — из зеркал), рассчитанных для взаимной компенсации аберраций и собранных в единую систему внутри оправы.Фокусное расстояние объектива представляет одну из физических его характеристик и является величиной постоянной. Однако один и тот же объектив с постоянным фокусным расстоянием в разных фотоаппаратах может выполнять функцию широкоугольного или телескопического. Дело в том, что определение «широкоугольный» или «нормальный» зависит от размера пленки или ПЗС-матрицы, применяемых в данном конкретном фотоаппарате. Чем меньше размер, тем большее увеличение дает нам наш объектив. В настоящее время в цифровых фотокамерах используется достаточно широкая линейка различных размеров ПЗС-матриц (рис. 216). Поэтому требуется практически такая же по разнообразию фокусных расстояний линейка объективов для получения одинаковых по размеру изображений. Чтобы избежать здесь недоразумений, фирмы-производители цифровой фототехники всегда приводят как действительное фокусное расстояние объектива, так и эквивалентное фокусное расстояние, пересчитанное под стандартный типоразмер 35-мм пленки. Например, ЦФК может иметь фокусное расстояние объектива равное 7,5 мм (эквивалентное объективу с фокусным расстоянием 50 мм обычной 35-мм фотокамеры). Поскольку действительные фокусные расстояния объективов ЦФК варьируются в очень широком диапазоне, в литературе оперируют только их эквивалентными фокусными расстояниями соответствующими обычным 35-мм фотокамерам.

4.Зеркальные системы

5. Зеркально – линзовые системы.

Зеркально-линзовые системы, катадиоптрические системы, оптические системы, содержащие как отражающие поверхности (зеркала), так и линзы. В некоторых З.-л. с. зеркала выполняют чисто конструктивные функции (изменение направления светового пучка, уменьшение габаритов прибора и т.п.), не влияя на качество изображения. Примером таких систем могут служить зеркально-линзовые конденсоры микроскопов . В др. случаях зеркала играют основную роль в образовании изображений, а линзы служат главным образом для исправления аберраций, вносимых зеркалами (аберрации оптических систем  - погрешности изображений, даваемых оптическими системами). Оптические свойства зеркал не меняются при изменении длины волны падающего света (т. е. зеркала ахроматичны), поэтому З.-л. с. широко применяются в случаях, когда оптическая система должна обладать большим фокусным расстоянием и большим диаметром (объективы телескопов, длиннофокусные фотографические объективы, геодезические инструменты высокой разрешающей силы).

Одна из основных областей применения З.-л. с. — астрономия (Зеркально-линзовый телескоп). Сочетание зеркал разной формы и различных комбинаций линзовых компенсаторов позволило создать З.-л. с. с большими углом зрения и светосилой(рис. 1, а, б),уменьшить длину астрономических приборов (рис. 1, в).

З.-л. с. используются в качестве светосильных (относительное отверстие до 1: 0,8) фотографических объективов (рис. 2, а) и телеобъективов. У этих систем сравнительно небольшое поле зрения, однако их разрешающая способность, как правило, выше, чем у линзовых объективов с такими же характеристиками. Поле зрения может быть несколько увеличено построением объектива по схеме рис. 2, б. Ахроматичность и высокий коэффициент отражения зеркал в широкой спектральной области обусловили использование З.-л. с. и в др. приборах, работающих в ультрафиолетовой и инфракрасной областях спектра (в частности, в спектральных приборах); входящие в состав таких систем линзы изготовляют из специальных материалов (кварц, флюорит, фтористый литий и др.).

6 .

10. Главные точки, фокусы и фокусные расстояния

Фо́кус оптической (или работающей с другими видами излучения) системы — точка, в которой пересекаются («фокусируются») первоначально параллельные лучи после прохождения через собирающую систему (либо где пересекаются их продолжения, если система рассеивающая). Множество фокусов системы определяет её фокальную поверхность. Главный фокус системы является пересечением её главной оптической оси и фокальной поверхности. В настоящее время^[1], вместо терминаглавный фокус (передний или задний) используются термины задний фокус и передний фокус.

Значение фокусного расстояния для линзы может быть рассчитано по следующей формуле:

, где

 — коэффициент преломления материала линзы,   - коэффициент преломления среды, окружающей линзу,

 — расстояние между сферическими поверхностями линзы вдоль оптической оси, также известное как толщина линзы, а знаки при радиусах считаются положительными, если центр сферической поверхности лежит справа от линзы и отрицательными, если слева. Если   пренебрежительно мало, относительно её фокусного расстояния, то такая линза называется тонкой, и её фокусное расстояние можно найти как:

где R>0 если центр кривизны находится справа от главной оптической оси; R<0 если центр кривизны находится слева от главной оптической оси. Например, для двояковыпуклой линзы будет выполняться условие 1/F=(n-n_0)(1/R1+1/R2)

(Эту формулу также называют формулой тонкой линзы.) Величина фокусного расстояния положительна для собирающих линз, и отрицательна для рассеивающих. Величина  называется оптической силой линзы. Оптическая сила линзы измеряется в диоптриях, единицами измерения которых являются м⁻¹.

Главные точки H и H΄ – это точки пересечения главных плоскостей с оптической осью.

Рассмотрим случай, когда линейное увеличение равно нулю, или бесконечности. Отодвинем плоскость предметов бесконечно далеко от оптической системы. Сопряженная ей плоскость называется задней фокальной плоскостью, а точка пересечения этой плоскости с оптической осью – задний фокус F΄ (рис.4).

Рисунок 4 – Кардинальные точки и отрезки

Расстояние от задней главной точки до заднего фокуса называется задним фокусным расстоянием f΄.

Расстояние от последней поверхности до заднего фокуса называется задним фокальным отрезком .

Передний фокус F – это точка на оптической оси в пространстве предметов, сопряженная с бесконечно удаленной точкой, расположенной на оптической оси в пространстве изображений.

Если лучи выходят из переднего фокуса, то они идут в пространстве изображений параллельно.

Переднее фокусное расстояние f – это расстояние от передней главной точки до переднего фокуса.

Передний фокальный отрезок – это расстояние от первой поверхности до переднего фокуса.

Если , то система называется собирающей или положительной. Если , то система рассеивающая или отрицательная.

Переднее и заднее фокусные расстояния не являются абсолютно независимыми, они связаны между собой соотношением:

. (5)

Выражение (5) можно переписать в виде:

, (6)

где – приведенное или эквивалентное фокусное расстояние.

В том случае, если оптическая система находится в однородной среде (например, в воздухе) , следовательно, переднее и заднее фокусные расстояния равны по абсолютной величине .

11. A. Формула линзы

Формула линзы. Линейное увеличение линзы

Из подобия треугольников A₁B₁F и OCF (рис. 16.47) следует 

Аналогично из подобия   и   :   Учитывая, что АВ = СО, из этих равенств получим 

Разделим все слагаемые на f получим   В общем случае   —— формула тонкой линзы.

Рис. 16.47

В ней F берут со знаком "+" для собирающей линзы и со знаком "-" для рассеивающей линзы, f — со знаком "+", если изображение действительное, и со знаком "-", если оно мнимое, d — со знаком "+" для действительного предмета и "-" для мнимого предмета. 

Линейное увеличение линзы Г — отношение линейных размеров изображения Н к линейным размерам предмета h:

Из треугольников АВО и А₁В₁О   Тогда   Следовательно, увеличение линзы 

Формула тонкой линзы

Расстояния от точки предмета до центра линзы и от точки изображения до центра линзы называются сопряжёнными фокусными расстояниями.

Эти величины находятся в зависимости между собой и определяются формулой, называемой формулой тонкой линзы (открытой Исааком Барроу):

где   — расстояние от линзы до предмета;   — расстояние от линзы до изображения;   — главное фокусное расстояние линзы. В случае толстой линзы формула остаётся без изменения с той лишь разницей, что расстояния отсчитываются не от центра линзы, а от главных плоскостей.

Для нахождения той или иной неизвестной величины при двух известных пользуются следующими уравнениями:

Следует отметить, что знаки величин  ,  ,   выбираются исходя из следующих соображений — для действительного изображения от действительного предмета в собирающей линзе — все эти величины положительны. Если изображение мнимое — расстояние до него принимается отрицательным, если предмет мнимый — расстояние до него отрицательно, если линза рассеивающая — фокусное расстояние отрицательно.

Изображения чёрных букв через тонкую выпуклую линзу с фокусным расстоянием f (отображаются красным цветом). Показаны лучи для букв E, I и K (синим, зеленым и оранжевым соответственно). Размеры реального и перевернутого изображения E (2f) одинаковы. Образ I (f) - в бесконечности. К (при f/2) имеет двойной размер виртуального и прямого изображения

Линейное увеличение

Линейным увеличением   (для рисунка из предыдущего раздела) называется отношение размеров изображения к соответствующим размерам предмета. Это отношение может быть также выражено дробью  , где   — расстояние от линзы до изображения;   — расстояние от линзы до предмета.

Здесь   есть коэффициент линейного увеличения, т. е. число, показывающее во сколько раз линейные размеры изображения меньше(больше) действительных линейных размеров предмета.

В практике вычислений гораздо удобнее это соотношение выражать в значениях   или  , где   — фокусное расстояние линзы.

.

Расчёт фокусного расстояния и оптической силы линзы

Значение фокусного расстояния для линзы может быть рассчитано по следующей формуле:

, где

 — коэффициент преломления материала линзы,   - коэффициент преломления среды, окружающей линзу,

 — расстояние между сферическими поверхностями линзы вдоль оптической оси, также известное как толщина линзы, а знаки при радиусах считаются положительными, если центр сферической поверхности лежит справа от линзы и отрицательными, если слева. Если   пренебрежительно мало, относительно её фокусного расстояния, то такая линза называется тонкой, и её фокусное расстояние можно найти как:

где R>0 если центр кривизны находится справа от главной оптической оси; R<0 если центр кривизны находится слева от главной оптической оси. Например, для двояковыпуклой линзы будет выполняться условие 1/F=(n-n_0)(1/R1+1/R2)

(Эту формулу также называют формулой тонкой линзы.) Величина фокусного расстояния положительна для собирающих линз, и отрицательна для рассеивающих. Величина  называется оптической силой линзы. Оптическая сила линзы измеряется в диоптриях, единицами измерения которых являются м⁻¹.

Указанные формулы могут быть получены аккуратным рассмотрением процесса построения изображения в линзе с использованием закона Снелла, если перейти от общих тригонометрических формул к параксиальному приближению. Кроме того, для вывода формулы тонкой линзы удобно заменить её треугольной призмой и затем использовать формулу угла отклонения этой призмы^[1].

Линзы симметричны, то есть они имеют одинаковое фокусное расстояние независимо от направления света — слева или справа, что, однако, не относится к другим характеристикам, например, аберрациям, величина которых зависит от того, какой стороной линза повёрнута к свету.

Комбинация нескольких линз (центрированная система)

Линзы могут комбинироваться друг с другом для построения сложных оптических систем. Оптическая сила системы из двух линз может быть найдена как простая сумма оптических сил каждой линзы (при условии, что обе линзы можно считать тонкими и они расположены вплотную друг к другу на одной оси):

.

Если линзы расположены на некотором расстоянии друг от друга и их оси совпадают (система из произвольного числа линз, обладающих таким свойством, называется центрированной системой), то их общую оптическую силу с достаточной степенью точности можно найти из следующего выражения:

,

где   — расстояние между главными плоскостями линз.

12. Параксиальная оптика

В параксиальной области (бесконечно близко к оптической оси), любая реальная система ведет себя как идеальная:

Каждой точке пространства предметов можно поставить в соответствие сопряженную ей точку в пространстве изображений.

Каждая прямая линия имеет сопряженную ей прямую линию в пространстве изображений.

Каждая плоскость пространства предметов имеет сопряженную ей плоскость в пространстве изображений. Из этих положений следует, что:

Меридиональная плоскость имеет сопряженную ей меридиональную плоскость в пространстве изображений.

Плоскость в пространстве предметов, перпендикулярная оптической оси, имеет сопряженную ей плоскость, перпендикулярную оптической оси в пространстве изображений.

Линейное (поперечное) увеличение

Линейное увеличение оптической системы – это отношение линейного размера изображения в направлении, перпендикулярном оптической оси, к соответствующему размеру предмета в направлении перпендикулярном оптической оси (рис.1):

. (1)

Рисунок 1 – Сопряженные линейные величины

Если β>0, то отрезки y и y΄ направлены в одну сторону, если β<1, то отрезки y и y΄ направлены в разные стороны, то есть происходит оборачивание изображения.

Если │β│>1 , то величина изображения больше величины предмета, если│β│<1, то величина изображения меньше величины предмета.

Для идеальной оптической системы линейное увеличение для любой величины предмета и изображения в одних и тех же плоскостях одно и то же.

Угловое увеличение оптической системы – это отношение тангенса угла между лучом и оптической осью в пространстве изображений к тангенсу угла между сопряженным с ним лучом в пространстве предметов и осью (рис.2):

. (2)

Рисунок 2 – Сопряженные угловые величины

В параксиальной области углы малы, и следовательно, угловое увеличение – это отношение любых из следующих угловых величин:

. (3)

Продольное увеличение

Продольное увеличение оптической системы – это отношение бесконечно малого отрезка, взятого вдоль оптической оси в пространстве изображений, к сопряженному с ним отрезку в пространстве предметов (рис.3):

. (4)

Рисунок 3 – Сопряженные продольные отрезки

Кардинальные точки и отрезки

Рассмотрим плоскости в пространстве предметов и сопряженные им плоскости в пространстве изображений. Найдем пару плоскостей, в которых линейное увеличение равно единице. В общем случае такая пара плоскостей существует, причем только одна (исключением являются афокальные или телескопические системы, для которых такие плоскости могут не существовать или их может быть бесконечное множество).

Главными плоскостями системы называется пара сопряженных плоскостей, в которых линейное увеличение равно единице (β=1).

Главные точки H и H΄ – это точки пересечения главных плоскостей с оптической осью.

Рассмотрим случай, когда линейное увеличение равно нулю, или бесконечности. Отодвинем плоскость предметов бесконечно далеко от оптической системы. Сопряженная ей плоскость называется задней фокальной плоскостью, а точка пересечения этой плоскости с оптической осью – задний фокус F΄ (рис.4).

Рисунок 4 – Кардинальные точки и отрезки

Расстояние от задней главной точки до заднего фокуса называется задним фокусным расстоянием f΄.

Расстояние от последней поверхности до заднего фокуса называется задним фокальным отрезком .

Передний фокус F – это точка на оптической оси в пространстве предметов, сопряженная с бесконечно удаленной точкой, расположенной на оптической оси в пространстве изображений.

Если лучи выходят из переднего фокуса, то они идут в пространстве изображений параллельно.

Переднее фокусное расстояние f – это расстояние от передней главной точки до переднего фокуса.

Передний фокальный отрезок – это расстояние от первой поверхности до переднего фокуса.

Если , то система называется собирающей или положительной. Если , то система рассеивающая или отрицательная.

Переднее и заднее фокусные расстояния не являются абсолютно независимыми, они связаны между собой соотношением:

. (5)

Выражение (5) можно переписать в виде:

, (6)

где – приведенное или эквивалентное фокусное расстояние.

В том случае, если оптическая система находится в однородной среде (например, в воздухе) , следовательно, переднее и заднее фокусные расстояния равны по абсолютной величине .

Оптическая сила оптической системы:

. (7)

Чем больше оптическая сила, тем сильнее оптическая система изменяет ход лучей. Если то .