24. В чем сущность задачи проверки гипотез?

Имеется некоторое число наблюденных зна­чений х1,х2,.,хn, известно, что эти значения принадлежат одному из двух распределений: f0(x1, x2, …, xn | s0) или f1(x1, x2, …, xn | s1), связанных с взаимоисключающими состояниями s0 и s1 изучаемого явления. Задача состоит в том, чтобы указать наилучший алгоритм обработки наблюдаемых данных с целью решить, какому из указанных распределений принадлежит полученная выборка. Обозначим через Н0 и Н1 — гипотезы о том, что выборочные значения принадлежат распределениям f0(x1, x2, …, xn | s0) и f1(x1, x2, …,xn | s1) соответственно, а через γ0 и γ1 — решения, состоящие в принятии или отклонении гипотезы Н0. Гипотеза Н1 является простой альтернативой Н0, и поэтому может рассматриваться только одна гипотеза Н0. Ясно, что отклонение гипотезы Н0 означа­ет принятие гипотезы Н1.

25. Что понимается под пространством наблюдения, пространством полез­ного сигнала и пространством помехи?

Пусть отсчеты принимаемого сигнала, являющегося суммой полезного сигнала и помехи, осуществляются в дискретные моменты времени. Отсчетные значения принятого сигнала называют выборочными значениями, Совокупность выборочных значений представляют геометрически в виде радиус-вектора в n-мерном пространстве, где

координаты конца вектора. Так как величины случайны, то вектор также является случайным вектором. Множество возможных значений вектора составляет пространство наблюдений V.

О бщая вероятность попадания конца вектора в произвольную точку пространства V:

По аналогии вводят понятия вектора полезного сигнала и вектора помех и соответственно им понятие пространства полезного сигнала и пространства помех.

П осле нахождения вектора принятого сигнала Y мы не можем однозначно судить о векторе полезного сигнала X. Речь может идти только об апостериорной плотности вероятности, т.е. условной плотности вероятности X, если задан вектор Y.

Вычисление апостериорной плотности вероятности можно выполнить с помощью формулы Байеса

Безусловная плотность вероятности определяется соотношением

Где обозначает, что интегрирование осуществляется в пространстве сигнала X.

26. Что понимается под выборкой и объемом выборки.

П усть отсчеты принимаемого сигнала, являющегося суммой полезного сигнала и помехи, осуществляются в дискретные моменты времени . Отсчетные значения принятого сигнала называют выборочными значениями, а их совокупность — выборкой. Число выборочных значений называют размером (или объемом) выборки.

С овокупность выборочных значений представляют геометрически в виде радиус-вектора в n-мерном пространстве, где

координаты конца вектора. Так как величины

случайны, то вектор также является случайным вектором. Множество возможных значений вектора составляет пространство наблюдений V.

27. Что такое функция правдоподобия и отношение правдоподобия?

Ф ункция называется Фу́нкция правдоподо́бия. . В зависимости от того, является ли X дискретной или непрерывной величиной, функция правдоподобия может принимать конечное или бесконечное множество значений.

рассматривать два значения функции правдоподобия :

у словная плотность вероятности выборки Y при наличии полезного сигнала X;

условная плотность вероятности выборки Y при отсутствии X.

Отношение функций правдоподобия

Для выбора гипотезы H0 или H1 должно быть взято за основу определенное правило принятия решений. Выбор правила принятия решения в математическом отношении сводится к оптимальному разбиению пространства принимаемых сигналов V на области v1 и v2.

28. Что такое ошибки первого и второго рода и как они количественно оцениваются?

Ошибка первого рода возникает, когда выборка попадаете критическую область v1, когда изучаемое явление находится в состоянии s0. Тем самым будет отвергнута гипотеза v0, хотя в действительности она верна. Ошибка второго рода возникает, когда выборка попадает в допустимую область v0, хотя изучаемое явление находится в состоянии s1. В результате будет принята ложная гипотеза. Аналогично могут рассматриваться и два вида правильных решений; принятие верной гипотезы (выборка попадает в область v0, когда имеет место состояние s0) и отклонение ложной гипотезы (выборка попадает в область v1, когда имеет место состояние s1).

Выражения для условная вероятность α ошибки первого рода равна

β ошибки второго рода равна

Вероятность α ошибки первого рода (т. е. вероятность отвергнуть правильную гипотезу Н0) называют иногда уровнем значимости, а вероятность 1 – β отвергнуть ложную гипотезу — мощностью правила выбора решений.