11.Вероятности правильных и ошибочных решений
Переходим к простейшей задаче — проверке простых гипотез. Ситуация в этом случае такова. Имеется некоторое число наблюденных значений х1, х2, . . ., хn (выборка размера n) и известно, что эти значения принадлежат одному из двух распределений: f0(x1, x2, …, xn | s0) или f1(x1, x2, …, xn | s1), связанных с взаимоисключающими состояниями s0 и s1 изучаемого явления. Задача состоит в том, чтобы указать наилучший (в каком-нибудь смысле) алгоритм обработки наблюдаемых данных с целью решить, какому из указанных распределений принадлежит полученная выборка.
Обозначим через Н0 и Н1 — гипотезы о том, что выборочные значения принадлежат распределениям f0(x1, x2, …, xn | s0) и f1(x1, x2, …,xn | s1) соответственно, а через γ0 и γ1 — решения, состоящие в принятии или отклонении гипотезы Н0.
Гипотеза Н1 является простой альтернативой Н0, и поэтому может рассматриваться только одна гипотеза Н0. Ясно, что отклонение гипотезы Н0 означает принятие гипотезы Н1.
Для рассматриваемых здесь нерандомизированных процедур проверки гипотезы задача состоит в установлении до наблюдений правила, согласно которому каждой выборке х1,х2,…, хn приписывалось бы одно из решений γ0 или γ1, иначе говоря, в установлении правила, по которому можно было бы принять или отвергнуть гипотезу Н0 на основании данных, накопленных в процессе наблюдения изучаемого явления.
Установление указанного правила эквивалентно разделению n - мерного пространства выборок (х1,…, хn) на две непересекающиеся области v0 и v1.
Е
сли
данная конкретная выборка попадает в
область v0,
то
гипотеза H0
принимается, а если она попадает в
область v1,
то
она отвергается (т. е. принимается
гипотеза H1).
Таким образом,
12.Понятие допустимой и критической области
Переходим к простейшей задаче — проверке простых гипотез. Ситуация в этом случае такова. Имеется некоторое число наблюденных значений х1, х2, . . ., хn (выборка размера n) и известно, что эти значения принадлежат одному из двух распределений: f0(x1, x2, …, xn | s0) или f1(x1, x2, …, xn | s1), связанных с взаимоисключающими состояниями s0 и s1 изучаемого явления. Задача состоит в том, чтобы указать наилучший (в каком-нибудь смысле) алгоритм обработки наблюдаемых данных с целью решить, какому из указанных распределений принадлежит полученная выборка.
Обозначим через Н0 и Н1 — гипотезы о том, что выборочные значения принадлежат распределениям f0(x1, x2, …, xn | s0) и f1(x1, x2, …,xn | s1) соответственно, а через γ0 и γ1 — решения, состоящие в принятии или отклонении гипотезы Н0.
Гипотеза Н1 является простой альтернативой Н0, и поэтому может рассматриваться только одна гипотеза Н0. Ясно, что отклонение гипотезы Н0 означает принятие гипотезы Н1.
Для рассматриваемых здесь нерандомизированных процедур проверки гипотезы задача состоит в установлении до наблюдений правила, согласно которому каждой выборке х1,х2,…, хn приписывалось бы одно из решений γ0 или γ1, иначе говоря, в установлении правила, по которому можно было бы принять или отвергнуть гипотезу Н0 на основании данных, накопленных в процессе наблюдения изучаемого явления.
Установление указанного правила эквивалентно разделению n - мерного пространства выборок (х1,…, хn) на две непересекающиеся области v0 и v1.
Если данная конкретная выборка попадает в область v0, то гипотеза H0 принимается, а если она попадает в область v1, то она отвергается (т. е. принимается гипотеза H1). Таким образом,
Область v0 принятия гипотезы называют допустимой, а область v1 отклонения гипотезы — критической. Уравнение поверхности D (х1, . . ., хn) = const в n-мерном пространстве, разделяющей указанные области, является аналитическим выражением правила выбора решений.