8.2. Автомобиль – колебательная система

Автомобиль представляет собой колебательную систему, состоящую из нескольких масс: кузова, колес, двигателя и других, связанных между собой упругими связями.

Обычно эти массы делят на подрессоренные и неподрессоренные.

Подрессоренной называют массу всех элементов автомобиля, вес которых нагружает упругие элементы подвески (кузов с укрепленными на нем двигателем, механизмами трансмиссии и др.).

Массы элементов, вес которых не передается через упругие элементы подвески, называют неподрессоренными (колеса, мосты).

Некоторые элементы автомобиля (упругие элементы и рычаги подвески, амортизаторы, карданные передачи) частично относят к подрессоренным, а частично к неподрессоренным массам.

Общее число степеней свободы всех масс автомобиля весьма велико.

Из механики известно, что каждое твердое тело может иметь шесть степеней свободы (поступательные перемещения вдоль трех координатных осей и угловые перемещения относительно каждой из этих осей). Следовательно, число степеней свободы автомобиля, как механической системы, в общем случае можно считать равным числу масс автомобиля, связанных между собой упругими связями, умноженными на шесть. При решении задачи об определении параметров колебаний автомобиля для упрощения часть упругих связей заменяют жесткими и пренебрегают некоторыми степенями свободы.

В простейшем случае колебательную систему, эквивалентную автомобилю, представляют в виде трех масс (рис. 58): подрессоренная масса М_п, рассматриваемая как твердое тело, в которое включены все упруго связанные с ней массы; неподрессоренные массы m₁ и m₂, соединенные с подрессоренной упругими элементами С_р1 и С_р2, соответствующими упругим элементам передней и задней подвесок, и амортизаторами K₁ и K₂, характеризующими гасящее устройство передней и задней подвесок. Неподрессоренные массы опираются на дорогу через упругие шины С_ш1 и С_ш2 и гасящие элементы K_ш1 и K_ш2, отражающие гасящие свойства шин.

Рис. 58. Колебательная система автомобиля

Считают, что подрессоренные массы имеют две степени свободы – вертикальное перемещение и поворот в продольной плоскости (совпадающей на рис. 60 с плоскостью чертежа), а каждая из неподрессоренных масс – только одну степень свободы – вертикальное перемещение. Таким образом, рассматриваемая колебательная система имеет четыре степени свободы.

8.3. Свободные колебания без затухания

Рассмотрим вначале колебания только подрессоренной массы без учета влияния на эти колебания неподрессоренных масс.

Как спереди, так и сзади подрессоренная масса опирается на дорогу через два последовательно включенных упругих элемента: упругий элемент подвески, имеющий жесткость С_р, и шину, обладающую жесткостью С_ш .

Покажем, что два (в общем случае несколько) упругих элемента, можно при расчетах заменить одним, жесткость С_пр которого называют приведенной жесткостью.

Обозначим f_пр суммарный прогиб двух последовательно включенных упругих элементов под действием некоторой силы Р.

Прогиб каждого из этих элементов равен

; , но ,

откуда:

; (197)

Пользуясь понятием о приведенной жесткости, можно, если не учитывать влияния неподрессоренных масс на подрессоренные, колебательную систему представить в виде массы М_п с моментом инерции относительно поперечной оси ОУ, проходящей через центр тяжести, равным J_у, опертой на упругие элементы С_пр1 и С_пр2 (рис. 59).

Рис. 59.

Будем рассматривать колебания такой системы по двум степеням свободы – перемещение центра тяжести 0 по вертикали (в направлении оси OZ) и поворот в продольной плоскости (вокруг оси ОУ, перпендикулярной плоскости чертежа).

Положительными будем считать перемещение вверх и поворот балки против часовой стрелки.

Уравнения движения при этом запишутся так:

; ,

где z₀ – текущее перемещение центра тяжести 0 по оси z;

α – текущий угол поворота балки относительно оси OУ;

P₁ и P₂ – силы упругости соответственно переднего и заднего упругих элементов.

Если обозначить Z₁ и Z₂ текущие значения деформации соответственно переднего и заднего упругих элементов, то

P₁ = C_пр1z₁ и P₂ = C_пр2z₂

Тогда

; (198)

; (199)

Где ρ_y – радиус инерции подрессоренных масс автомобиля относительно оси ОY.

В два уравнения (198) и (199) входят четыре неизвестных: Z₁, Z₂, Z₀ и α. Однако эти неизвестные связаны между собой, и любая пара из них может быть выражена через другую пару.

Выразим неизвестные Z₀ и α через Z₁ и Z₂

Непосредственно из рис. 60 можно записать:

; (200)

Из уравнений (188) получим:

Подставляя эти значения α и Z₀ в равенства (199) и (200), получим:

; (201)

; (202)

После преобразования получим два дифференциальных уравнения:

; (203)

Разделим обе части каждого из уравнений (203) на коэффициенты при и . Тогда

; (204)

; (205)

Система уравнений (204) и (205) является связанной, поскольку в уравнение (204), кроме и , входит также , а в уравнение (205), кроме и , входит .

Однако, если выполняется условие а_пb_n = ρ_y², тo в уравнении (205) остаются только перемещение Z₂ и ускорение передней части автомобиля, а в уравнении (204) только перемещение Z₂ и ускорение задней части автомобиля, т.е. уравнения (204) и (205) оказываются не связанными друг с другом. Это означает, что при колебания передней части автомобиля не оказывают влияния на колебания его задней части и наоборот.

При колебания передней и задней частей автомобиля оказываются связанными.Влияние колебаний одной части автомобиля на другую тем больше, чем больше коэффициенты при вторых членах уравнений (204) и (205).

Поэтому эти коэффициенты называют коэффициентами связи.

, ; (206)

Рис. 60. Схема для определения парциальных частот

Рассмотрим случай, когда .

В теории колебаний имеется понятие «парциальная частота системы», под которым понимается частота колебаний по одной из степеней свободы в случае, когда движение по всем остальным, степеням свободы устранено. Если считать, что закреплена точка В (рис. 60а), т.е. Z₂ = 0, то уравнение (205) может быть записано в виде:

; (206)

В случае, когда закреплена точка А (рис. 60б), т.е. Z₁ = 0, уравнение (205) принимает вид:

; (207)

Коэффициенты при перемещениях представляют собой соответственно частоты колебаний точки А при закрепленной (шарнирно) точке В и колебаний точки В при закрепленной точке А, т.е. парциальные частоты колебаний подрессоренной массы автомобиля в случае, когда . В действительности как точка А, так и точка В совершают сложные колебания, которые для точки А можно рассматривать как сумму колебаний относительно точки В и колебаний точки В для точки В как сумму колебаний относительно точки А и колебаний точки А.

Зависимость от времени перемещений точек А и В можно определить по формулам:

для точки А

; (208)

для точки В

; (209)

где Z₁₁ и Z₂₁- амплитуды колебаний соответственно точек А и В с частотой Ω₁;

Z₁₂ и Z_{22 –} амплитуды колебаний соответственно точек А и В с частотой Ω₂.

Частоты Ω₁ и Ω₂ могут быть найдены по парциальным и коэффициентам связи K_с1 и K_с2 , пользуясь уравнениями:

; (210)

(211)