5.7 Метод декомпозиции ( «Разделяй и властвуй»)
Этот метод, называемый также методом «разделяй и властвуй» или методом разбиения, возможно, является самым важным и наиболее широко применимым методом проектирования эффективных алгоритмов. Он предполагает такую декомпозицию (разбиение) задачи размера n на более мелкие задачи, что на основе решений этих более мелких задач можно легко получить решение исходной задачи. В качестве примеров применений этого метода можно назвать сортировку слиянием или применение деревьев двоичного поиска, которые рассматриваются дальше. Иногда в литературе алгоритмами с возвратом (backtracking algo- rithms) называют все алгоритмы полного перебора вглубь, а класс более интеллектуальных, уменьшающих рост дерева поиска, выде- ляют в подкласс алгоритмов вет- вей и границ (branch and bound algorithms). При использовании метода декомпозиции обычно применяется следующая последовательность действий:
Декомпозиция: разделяем задачу на k задач, меньших по раз- меру (размером приблизительно 1 / k от исходной);
«Властвование»: процесс деле- ния продолжаем рекурсивно до тех пор, пока полученные подза- дачи не будут достаточно мало- го размера для их тривиального решения. Далее решаем полу- чившиеся задачи.
Соединение: комбинируем решения подзадач в одно решение.
Важное условие: подзадачи, полу- чившиеся в процессе разбиения, не должны повторяться или частич- но перекрывать друг друга. Если условие не выполняется, то прин- цип «разделяй и властвуй» к таким задачам явно неприменим, и целе- сообразнее использовать другие методы.
5.7.1 «Ханойские башни»
Чтобы проиллюстрировать практическое применение принципа «разделяй и властвуй» рассмотрим хорошо известную головоломку «Ханойские башни». Имеются три стержня A, B и C. Вначале на стержень A нанизаны несколько дисков: диск наибольшего диаметра находится внизу, а выше – диски последовательно уменьшающегося диаметра. Цель головоломки – перемещать диски (по одному) со стержня на стержень так, чтобы диск большего диаметра никогда не размещался выше диска меньшего диаметра, и чтобы, в конце концов, все диски оказались нанизанными на стержень B. Стержень C можно использовать для временного хранения дисков.
Рисунок 5.16 – Головоломка «Ханойские башни»
Задачу перемещения n наименьших дисков со стержня A на стержень B можно представить себе состоящей из двух подзадач размера n-1. Сначала нужно переместить n-1 наименьших дисков со стержня A на стержень C, оставив на стержне A n-й наибольший диск. Затем этот диск нужно переместить с A на B. Потом следует переместить n-1 дисков со стержня C на стержень B. Это перемещение n 1 дисков выполняется путем рекурсивного применения указанного метода. Поскольку диски, участвующие в перемещениях, по размеру меньше тех, которые в перемещении не участвуют, не нужно задумываться над тем, что находится под перемещаемыми дисками на стержнях A, B или C. Хотя фактическое перемещение отдельных дисков не столь очевидно, а моделирование вручную выполнить непросто из-за образования стеков рекурсивных вызовов, с концептуальной точки зрения этот алгоритм все же довольно прост для понимания и доказательства его правильности (а если говорить о быстроте разработки, то ему вообще нет равных). Именно легкость разработки алгоритмов по методу декомпозиции обусловила огромную популярность этого метода; к тому же, во многих случаях эти алгоритмы оказываются более эффективными, чем алгоритмы, разработанные традиционными методами.
var N: integer;
procedure MoveDisks(k: integer; X, Y, Z: char);
begin
if k=0 then exit; (выход из рекурсии) MoveDisks(k-1, X, Z, Y); (подзадача 1)
writeln(X,' -> ',Y); (подзадача 2) МоvеDisks(k-1, Z, Y, X);(подзадача 3)
end;
begin
read(N);
MoveDisks(N, 'А', 'В', 'С');
end.
Листинг 5.19 – Алгоритм решения задачи «Ханойские башни»
procedure Try(next_element); begin
<включить next_element в искомое множество>;
if <достигнут нужный результат> then begin
<запомнить этот результат> и/или
<вывести его на печать> и/или <проверить на оптимальность>;
<выйти из процедуры, возможно исключив next element
из этого множества>;
end;
<цикл перебора всех оставшихся или допустимых элементов rest_element, который не обязательно должен быть реализован в виде цикла for, while или repeat> begin (в цикле)
<подсчет необходим локальных величин (*), если надо>; if <условие обрезания дерева
перебора, которого может и не быть>
then Try(rest element);
<обратные действия к (*), если (*} имели место>;
еnd;
<исключить пехt_е1еment из искомого множества»
end;
Листинг 5.20 – Обобщенный алгоритм решения задачи методом перебора