4.5 Открытая адресация; способы вычисления последовательности испробованных мест: линейная последовательность проб, квадратичная последовательность проб, двойное хеширование

В отличие от хеширования с цепочками, при открытой адресации (open addressing) никаких списков нет, а все записи хранятся в самой хеш-таблице каждая ячейка таблицы содержит либо элемент динамического множества, либо NIL. Поиск заключается в том, что мы определённым образом просматриваем элементы таблицы, пока не найдём то, что ищем, или не удостоверимся, что элемента с таким ключом в таблице нет. Тем самым число хранимых элементов не может быть больше размера таблицы: коэффициент заполнения не больше 1.

Конечно, и при хешировании с цепочками можно использовать свободные места в хеш-таблице для хранения списков, но при открытой адресации указатели вообще не используются: последовательность просматриваемых ячеек вычисляется. За счет экономии памяти на указателях можно увеличить количество позиций в таблице, что уменьшает число коллизий и сокращает поиск.

Чтобы добавить новый элемент в таблицу с открытой адресацией, ячейки которой занумерованы целыми числами от 0 до т – 1, мы просматриваем её, пока не найдем свободное место. Если всякий раз просматривать ячейки подряд (от 0-й до (m – 1)-й), потребуется время (n), но суть в том, что порядок просмотра таблицы зависит от ключа. Иными словами, мы добавляем к хеш-функции второй аргумент – номер попытки (нумерацию начинаем с нуля), так что хеш-функция имеет вид

h: U x {0,1,..., m – 1} → {0, 1,...,m – 1}

(U – множество ключей). Последовательность испробованных мест, или последовательность проб (probe sequence), для данного ключа k имеет вид

h(k,0),h(k,1),…,h(k,m – 1);

функция h должна быть такой, чтобы каждое из чисел от 0 до т – 1 встретилось в этой последовательности ровно один раз (для каждого ключа все позиции таблицы должны быть доступны). Ниже приводится текст процедуры добавления в таблицу Т с открытой адресацией; в нем подразумевается, что записи не содержат дополнительной информации, кроме ключа. Если ячейка таблицы пуста, в ней записан NIL (фиксированное значение, отличное от всех ключей).

Листинг 4.4 – Процедура добавления элемента в таблицу с открытой адресацией

При поиске элемента с ключом k в таблице с открытой адресацией ячей­ки таблицы просматриваются в том же порядке, что и при добавлении в нее элемента с ключом k. Если при этом мы натыкаемся на ячейку, в которой записан NIL, то можно быть уверенным, что искомого элемента в таблице нет (иначе он был бы занесён в эту ячейку). (Внимание: предполагается, что никакие элементы из таблицы не удаляются!)

Вот текст процедуры поиска hash-search(если элемент с ключом k со­держится в таблице Т в позиции j, процедура возвращает j, в противном случае она возвращает nil).

Листинг 4.5 – Процедура поиска элемента в таблице с открытой адресацией

Удалить элемент из таблицы с открытой адресацией не так просто. Если просто записать на его место NIL, то в дальнейшем мы не сможем найти те элементы, в момент добавления которых в таблицу это место было занято (и из-за этого был выбран более далёкий элемент в последовательности испробо­ванных мест). Возможное решение – записывать на место удалённого элемента не nil, а специальное значение deleted («удалён»), и при добавлении рассма­тривать ячейку с записью deleted как свободную, а при поиске – как занятую (и продолжать поиск). Недостаток этого подхода в том, что время поиска мо­жет оказаться большим даже при низком коэффициенте заполнения. Поэтому, если требуется удалять записи из хеш-таблицы, предпочтение обычно отдают хешированию с цепочками.

В нашем анализе открытой адресации мы будем исходить из предположения, что хеширование равномерно (uniform) в том смысле, что все m! перестановок множества {0,1,...,m – 1} равновероятны. На практике это вряд ли так, хо­тя бы по той причине, что для этого необходимо, чтобы число возможных ключей было как минимум ≤ m!, где m – число хеш-значений. Поэтому обычно пользуются более или менее удачными суррогатами, вроде описываемого ниже двойного хеширования.

Обычно применяют такие три способа вычисления последовательности испробованных мест: линейный, квадратичный и двойное хеширование. В каждом из этих способов последовательность h(k, 0), h(k, 1),..., h(k, т – 1) будет перестановкой множества {0,1,..., m – 1} при любом значении ключа k, но ни один из этих способов не является равномерным по той причине, что они дают не более m² перестановок из m! возможных. Больше всего разных перестановок получается при двойном хешировании; не удивительно, что и на практике этот способ дает лучшие результаты.

const

В = {подходящая константа};

empty = ' '; {10 пробелов}

deleted = '**********'; {10 символов *}

c = 1; {шаг перебора}

MaxCase = {подходящая константа}; {Max количество попыток}

type

TypeElem = string[10]

HTableOpen = array[0..B-1] of TypeElem;

Теперь приведем сами алгоритмы на примере линейного опробования. Для остальных методов повторного хеширования алгоритмы идентичны.

procedure Clear_HTableOpen(var A: HTableOpen);

{Процедура очистки хеш-таблицы}

var

IndexSeg: integer;

begin

for IndexSeg:=0 to B-l do A[IndexSeg] := empty;

end;

function Find_HTableOpen(x: TypeElem;

var A: HTableOpen;

var IndexSeg: integer): boolean;

{функция поиска элемента x в хеш-таблице. Принимает значение true, если найден и возвращает номер сегмента, в котором располагается найденный элемент, или принимает значение false и возвращает 0}

var

i: integer;

begin

i := 0;

repeat

IndexSeg := ((h(x) + c*i) mod B + {лин.опр.с цикл.переходом}

(h(x) + c*i) div B ) {смещение после перехода}

mod B; {ограничение смещения}

i := i + 1;

until (A[IndexSeg] = x) or {нашли}

(A[IndexSeg] = empty) or {дальше уже нет}

(i > MaxCase); {слишком долго ищем}

if A[IndexSeg] = x then begin

Find_HTableOpen := true;

end else begin

Find_HTableOpen := false;

IndexSeg := 0;

end;

end;

function Add_HTableOpen(x: TypeElem;

var A: HTableOpen): boolean;

{Процедура добавления элемента x в хеш-таблицу. Возвращает true, если элемент добавлен, и false – в обратном}

var

i,

IndexSeg: integer; {номер сегмента}

begin

if not Find_HTableOpen(x, A, IndexSeg) then begin

{Если в таблице элемент уже есть, то добавлять не надо}

i := 0;

repeat

IndexSeg := ((h(x) + c*i) mod B +

(h(x) + c*i) div B )

mod B;

i := i + 1;

until (A[IndexSeg] = empty) or {нашли место}

(A[IndexSeg] = deleted) or {тоже можно занять}

(i > MaxCase); {слишком долго ищем}

if (A[IndexSeg] = empty) or

(A[IndexSeg] = deleted) then begin

A[IndexSeg] := x;

Add_HTableOpen := true;

end else begin

Add_HTableOpen := false;

end;

end

end;

procedure Del_HTableOpen(x: TypeElem; var A: HTableOpen);

{Процедура удаления элемента x из хеш-таблицы}

var

IndexSeg: integer; {номер сегмента}

begin

if Find_HTableOpen(x, A, IndexSeg) then begin

{Если в таблице элемент уже нет, то удалять не надо}

A[IndexSeg] := deleted;

end

end;

Листинг 4.5 – Словарные операции при открытой адресации