![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Министерство образования Российской Федерации
- •Содержание
- •1.2 Скорость роста функций
- •1.3 Анализ алгоритмов; время работы в лучшем, худшем случаях и в среднем
- •1.4 Типы данных, структуры данных и абстрактные типы данных
- •1.5 Динамические множества
- •2 Алгоритмы сортировок
- •2.1 Понятие внутренней и внешней сортировки
- •2.2 Сортировка вставками
- •2.3 Сортировка слиянием
- •2.3.1 Описание алгоритма
- •2.3.2 Анализ времени работы алгоритмов «разделяй и властвуй»
- •2.3.2 Анализ времени работы сортировки слиянием через рекуррентное соотношение
- •2.3.3 Анализ времени работы сортировки слиянием через геометрическую интерпретацию
- •2.4 Пирамидальная сортировка
- •2.4.1 Введение в алгоритм
- •2.4.2 Сохранение основного свойства кучи
- •2.4.3 Построение кучи
- •2.5 Быстрая сортировка
- •2.5.1 Введение в алгоритм
- •2.5.2 Описание
- •2.5.3 Разбиение массива
- •2.5.4 Особенности работы быстрой сортировки
- •2.6 Особенности реализации алгоритмов сортировки; сортировка за линейное время
- •2.6.1 Введение
- •2.6.2 Разрешающее дерево сортировки сравнениями
- •2.7 Цифровая сортировка
- •2.8 Сортировка вычерпыванием
- •2.8.1 Описание алгоритма
- •2.8.2 Вероятностный анализ времени работы сортировки вычерпыванием
- •2.8.3 Анализ времени работы сортировки вычерпыванием через геометрическую интерпретацию
- •2.9 Сортировка подсчетом
- •2.9.1 Описание алгоритма
- •2.9.2 Анализ времени работы
- •3 Элементарные и нелинейные структуры данных
- •3.1 Элементарные структуры: список, стек, очередь, дек
- •3.1.1 Список Линейный однонаправленный список
- •Линейный двунаправленный список
- •Двунаправленный список с фиктивными элементами
- •Циклические списки
- •Циклический однонаправленный список
- •Циклический двунаправленный список
- •3.1.2 Стек
- •3.1.3 Очередь
- •3.1.3 Дек
- •3.2 Нелинейные структуры данных
- •3.2.1 Представление корневых деревьев в эвм
- •Обходы деревьев
- •3.2.2 Двоичные деревья Спецификация двоичных деревьев
- •Реализация
- •Обходы двоичных деревьев
- •3.2.3 Двоичные деревья поиска Основные операции
- •Минимум и максимум
- •Следующий и предыдущий элементы
- •Добавление и удаление
- •Случайные деревья поиска
- •Оптимальные деревья поиска
- •4 Хеширование
- •4.1 Введение
- •4.2 Прямая адресация; таблицы с прямой адресацией
- •4.3 Хеш – таблицы; возникновение коллизий и их разрешение
- •Разрешение коллизий с помощью цепочек
- •Анализ хеширования с цепочками
- •4.4 Способы построения хеш – функций Выбор хорошей хеш-функции
- •Ключи как натуральные числа
- •Деление с остатком
- •Умножение
- •Универсальное хеширование
- •4.5 Открытая адресация; способы вычисления последовательности испробованных мест: линейная последовательность проб, квадратичная последовательность проб, двойное хеширование
- •Линейная последовательность проб
- •1 / (1 – )
- •5 Основные принципы разработки алгоритмов
- •5.1 Введение в теорию графов
- •5.1.1 Графы
- •5.1.2 Представление графов
- •5.2 Алгоритмы на графах: поиск в ширину, поиск в глубину
- •5.2.1 Поиск в ширину (волновой алгоритм)
- •5.2.2 Анализ поиска в ширину
- •5.2.3 Деревья поиска в ширину
- •5.2.4 Поиск в глубину
- •5.2.5 Анализ поиска в глубину
- •5.2.6 Свойства поиска в глубину
- •5.2.7 Классификация рёбер
- •5.3 Топологическая сортировка, задача о разбиении графа на сильно связанные компоненты
- •5.3.1 Топологическая сортировка
- •5.3.2 Сильно связные компоненты
- •5.4 Алгоритм построения минимального остовного дерева
- •5.4.1 Остовные деревья минимальной стоимости
- •5.4.2 Построение минимального покрывающего дерева
- •5.4.3 Алгоритмы Крускала и Пpимa
- •5.4.4 Алгоритм Крускала
- •5.4.5 Алгоритм Прима
- •5.5 Задача нахождения кратчайших путей на графах; алгоритм Флойда; алгоритм Дейкстры
- •5.5.1 Нахождение кратчайшего пути
- •5.5.2 Алгоритм Дейкстры
- •5.5.3 Алгоритм Флойда
- •5.6 Поиск с возвратом
- •5.6.1 Введение
- •5.6.2 Переборные алгоритмы
- •5.6.3 Метод ветвей и границ
- •5.6.4 Метод альфа-бета отсечения
- •5.6.5 Локальные и глобальные оптимальные решения
- •5.7 Метод декомпозиции ( «Разделяй и властвуй»)
- •5.7.1 «Ханойские башни»
- •5.8 Жадные алгоритмы и динамическое программирование
- •5.8.1 Задача о выборе заявок
- •5.8.2 Дискретная задача о рюкзаке
- •5.8.3 Непрерывная задача о рюкзаке
- •5.8.4 Числа Фибоначчи
- •5.8.5 Задача триангуляции многоугольника
- •5.8.6 Дп, жадный алгоритм или что-то другое?
2.7 Цифровая сортировка
Алгоритм цифровой сортировки (radix sort) использовался в машинах для сортировки перфокарт. В картонных перфокартах специальный перфоратор пробивал дырки. В каждой из 80 колонок были места для 12 прямоугольных дырок.
Сортировочной машине указывали столбец, по которому нужно произвести сортировку, и она раскладывала колоду перфокарт на 10 стопок в зависимости от того, какая из дырок 0-9 была пробита в указанном столбце.
Как отсортировать колоду перфокарт с многозначными числами (разряд единиц в одном столбце, десятков – в предыдущем и т.д.)? Первое, что приходит в голову, – начать сортировку со старшего разряда. При этом получится 10 стопок, каждую из которых на следующем шаге придётся разбивать на 10 стопок, и так далее – получится большое количество стопок перфокарт.
Как ни странно, оказывается удобнее начать с младшего разряда, разложив колоду на 10 стопок в зависимости от того, где пробито отверстие в «младшем» столбце. Полученные 10 стопок надо после этого сложить в одну в таком порядке: сначала карты с 0, затем карты с 1, и т. д. Получившуюся колоду вновь рассортируем на 10 стопок, но уже в соответствии с разрядом десятков, сложим полученные стопки в одну колоду, и т. д.; если на перфокартах были записаны «d - значные числа, то понадобится d раз воспользоваться сортировочной машиной. На рис. 2.9 показано, как действует этот алгоритм, примененный к семи трёхзначным числам.
Рисунок 2.9 – Пример цифровой сортировки трёхзначных цифр
На рисунке показан исходный порядок чисел, а также после сортировки по третьей, второй и первой цифрам (вертикальные стрелки указывают, по какой цифре производилась сортировка).
Важно, чтобы алгоритм, с помощью которого происходит сортировка по данному разряду, был устойчивым: карточки, у которых в данной колонке стоит одна и та же цифра, должны выйти из сортировочной машины в той же последовательности, в которой они туда подавались.
В компьютерах цифровая сортировка иногда используется для упорядочения данных, содержащих несколько полей. Пусть, например, требуется отсортировать последовательность дат. Это можно сделать с помощью любого алгоритма сортировки, сравнивая даты следующим образом: сравнить годы, если годы совпадают – сравнить месяцы, если совпадают и месяцы – сравнить числа. Вместо этого, однако, можно просто трижды отсортировать массив дат с помощью устойчивого алгоритма: сначала по дням, потом по месяцам, потом по годам.
Программу для цифровой сортировки написать легко. Предполагается, что каждый элемент n-элементного массива А состоит из d цифр, причем цифра номер 1 –младший разряд, а цифра номер d – старший.
Листинг 2.10 – Алгоритм цифровой сортировки
Если цифры могут принимать значения от 1 до k, где k не слишком велико, то очевидный выбор – сортировка подсчётом. Для п чисел с d знаками от 0 до k – 1 каждый проход занимает время (n + k); поскольку мы делаем d проходов, время работы цифровой сортировки равно (dn + kd). Если d постоянно и k = О(п), то цифровая сортировка работает за линейное время.
При цифровой сортировке важно правильно выбрать основание системы счисления, поскольку от него зависит размер требуемой дополнительной памяти и время работы. Конкретный пример: пусть надо отсортировать миллион 64-битных чисел. Если рассматривать их как четырёхзначные числа в системе счисления с основанием 216, то при цифровой сортировке понадобится всего четыре прохода, при использовании в процедуре Counting-Sort массива В размером 216 (что немного по сравнению с размером сортируемого массива). Это выгодно отличается от сортировки сравнением, когда на каждое число приходится по log n 20 операций. К сожалению, цифровая сортировка, опирающаяся на сортировку подсчётом, требует ещё одного массива (того же размера, что и сортируемый) для хранения промежуточных результатов, в то время как многие алгоритмы сортировки сравнением обходятся без этого. Поэтому, если надо экономить память, алгоритм быстрой сортировки может оказаться предпочтительнее.