3.2.3 Двоичные деревья поиска Основные операции
Обычные деревья не дают выигрыша при хранении множества значений. При поиске элемента все равно необходимо просмотреть все дерево. Однако можно организовать хранение элементов в дереве так, чтобы при поиске элемента достаточно было просмотреть лишь часть дерева. Для этого надо ввести следующее требование упорядоченности дерева:
Двоичное дерево упорядочено, если для любой вершины x справедливо такое свойство: все элементы, хранимые в левом поддереве, меньше элемента, хранимого в x, а все элементы, хранимые в правом поддереве, больше элемента, хранимого в x.
Важное свойство упорядоченного дерева: все элементы его различны. Если в дереве встречаются одинаковые элементы, то такое дерево является частично упорядоченным.
В дальнейшем будет идти речь только о двоичных упорядоченных деревьях, слово «упорядоченный» будет опускаться.
Деревья поиска (search trees) позволяют выполнять следующие операции с дина- мическими множествами: Search (поиск), Minimum (минимум), Maximum (мак- симум), Predecessor (предыдущий), Successor (следующий), Insert (вста- вить) и Delete (удалить). Таким образом, дерево поиска может быть исполь- зовано и как словарь, и как очередь с приоритетами.
Время
выполнения
основных
операций
пропорционально
высоте
дерева.
Если
двоичное
дерево «плотно
заполнено»
(все
его
уровни
имеют
максимально
возмож-
ное
число
вершин),
то
его высота
(и
тем
самым
время
выполнения
операций)
пропорциональна
логарифму
числа
вершин. Напротив,
если
дерево
представля-
ет
собой
линейную
цепочку
из
n
вершин,
это
время
вырастает до
.
Конечно, возникающие на практике двоичные деревья поиска могут быть далеки от случайных. Однако, приняв специальные меры по балансировке де- ревьев, можно гарантировать, что высота дерева с n вершинами будет O(log n).
Реализация операций будет рассматриваться для двоичных деревьев, представленных как динамическая структура.
Реализацию этих операций приведем в виде соответствующих процедур.
Поиск
Алгоритм поиска можно записать в рекурсивном виде. Если искомое значение Item меньше Tree^.Data, то поиск продолжается в левом поддереве, если равен – поиск считается успешным, если больше – поиск продолжается в правом поддереве; поиск считается неудачным, если достигли пустого поддерева, а элемент найден не был.
function TreeSearch(Item: TypeElement; Tree: PTree): boolean;
{Поиск вершины дерева, содержащую значение Item}
var
Current: PTree;
begin
TreeSearch := False;
if Tree <> nil then begin {Дерево не пустое}
Current := Tree;
if Current^.Data = Item then {Вершина найдена}
TreeSearch := True
else
if Current^.Data > Item then {Ищем в левом поддереве}
TreeSearch := TreeSearch(Item, Current^.Left)
else {Ищем в правом поддереве}
TreeSearch := TreeSearch(Item, Current^.Right);
end;
end;
Листинг 3.15 – Процедура поиска в двоичном дереве на языке Pascal
Листинг 3.24 – Рекурсивная процедура поиска в двоичном дереве поиска
Можно написать аналогичную нерекурсивную функцию. Она позволит избежать избыточного хранения информации. Каждый рекурсивный вызов размещает в стеке локальные переменные Item и Tree, а также адрес точки возврата из подпрограммы. В нерекурсивном варианте можно обойтись одной переменной Item и одной переменной Tree.
Листинг 3.25 – Нерекурсивная (итеративная) процедура поиска в двоичном дереве поиска