![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Министерство образования Российской Федерации
- •Содержание
- •1.2 Скорость роста функций
- •1.3 Анализ алгоритмов; время работы в лучшем, худшем случаях и в среднем
- •1.4 Типы данных, структуры данных и абстрактные типы данных
- •1.5 Динамические множества
- •2 Алгоритмы сортировок
- •2.1 Понятие внутренней и внешней сортировки
- •2.2 Сортировка вставками
- •2.3 Сортировка слиянием
- •2.3.1 Описание алгоритма
- •2.3.2 Анализ времени работы алгоритмов «разделяй и властвуй»
- •2.3.2 Анализ времени работы сортировки слиянием через рекуррентное соотношение
- •2.3.3 Анализ времени работы сортировки слиянием через геометрическую интерпретацию
- •2.4 Пирамидальная сортировка
- •2.4.1 Введение в алгоритм
- •2.4.2 Сохранение основного свойства кучи
- •2.4.3 Построение кучи
- •2.5 Быстрая сортировка
- •2.5.1 Введение в алгоритм
- •2.5.2 Описание
- •2.5.3 Разбиение массива
- •2.5.4 Особенности работы быстрой сортировки
- •2.6 Особенности реализации алгоритмов сортировки; сортировка за линейное время
- •2.6.1 Введение
- •2.6.2 Разрешающее дерево сортировки сравнениями
- •2.7 Цифровая сортировка
- •2.8 Сортировка вычерпыванием
- •2.8.1 Описание алгоритма
- •2.8.2 Вероятностный анализ времени работы сортировки вычерпыванием
- •2.8.3 Анализ времени работы сортировки вычерпыванием через геометрическую интерпретацию
- •2.9 Сортировка подсчетом
- •2.9.1 Описание алгоритма
- •2.9.2 Анализ времени работы
- •3 Элементарные и нелинейные структуры данных
- •3.1 Элементарные структуры: список, стек, очередь, дек
- •3.1.1 Список Линейный однонаправленный список
- •Линейный двунаправленный список
- •Двунаправленный список с фиктивными элементами
- •Циклические списки
- •Циклический однонаправленный список
- •Циклический двунаправленный список
- •3.1.2 Стек
- •3.1.3 Очередь
- •3.1.3 Дек
- •3.2 Нелинейные структуры данных
- •3.2.1 Представление корневых деревьев в эвм
- •Обходы деревьев
- •3.2.2 Двоичные деревья Спецификация двоичных деревьев
- •Реализация
- •Обходы двоичных деревьев
- •3.2.3 Двоичные деревья поиска Основные операции
- •Минимум и максимум
- •Следующий и предыдущий элементы
- •Добавление и удаление
- •Случайные деревья поиска
- •Оптимальные деревья поиска
- •4 Хеширование
- •4.1 Введение
- •4.2 Прямая адресация; таблицы с прямой адресацией
- •4.3 Хеш – таблицы; возникновение коллизий и их разрешение
- •Разрешение коллизий с помощью цепочек
- •Анализ хеширования с цепочками
- •4.4 Способы построения хеш – функций Выбор хорошей хеш-функции
- •Ключи как натуральные числа
- •Деление с остатком
- •Умножение
- •Универсальное хеширование
- •4.5 Открытая адресация; способы вычисления последовательности испробованных мест: линейная последовательность проб, квадратичная последовательность проб, двойное хеширование
- •Линейная последовательность проб
- •1 / (1 – )
- •5 Основные принципы разработки алгоритмов
- •5.1 Введение в теорию графов
- •5.1.1 Графы
- •5.1.2 Представление графов
- •5.2 Алгоритмы на графах: поиск в ширину, поиск в глубину
- •5.2.1 Поиск в ширину (волновой алгоритм)
- •5.2.2 Анализ поиска в ширину
- •5.2.3 Деревья поиска в ширину
- •5.2.4 Поиск в глубину
- •5.2.5 Анализ поиска в глубину
- •5.2.6 Свойства поиска в глубину
- •5.2.7 Классификация рёбер
- •5.3 Топологическая сортировка, задача о разбиении графа на сильно связанные компоненты
- •5.3.1 Топологическая сортировка
- •5.3.2 Сильно связные компоненты
- •5.4 Алгоритм построения минимального остовного дерева
- •5.4.1 Остовные деревья минимальной стоимости
- •5.4.2 Построение минимального покрывающего дерева
- •5.4.3 Алгоритмы Крускала и Пpимa
- •5.4.4 Алгоритм Крускала
- •5.4.5 Алгоритм Прима
- •5.5 Задача нахождения кратчайших путей на графах; алгоритм Флойда; алгоритм Дейкстры
- •5.5.1 Нахождение кратчайшего пути
- •5.5.2 Алгоритм Дейкстры
- •5.5.3 Алгоритм Флойда
- •5.6 Поиск с возвратом
- •5.6.1 Введение
- •5.6.2 Переборные алгоритмы
- •5.6.3 Метод ветвей и границ
- •5.6.4 Метод альфа-бета отсечения
- •5.6.5 Локальные и глобальные оптимальные решения
- •5.7 Метод декомпозиции ( «Разделяй и властвуй»)
- •5.7.1 «Ханойские башни»
- •5.8 Жадные алгоритмы и динамическое программирование
- •5.8.1 Задача о выборе заявок
- •5.8.2 Дискретная задача о рюкзаке
- •5.8.3 Непрерывная задача о рюкзаке
- •5.8.4 Числа Фибоначчи
- •5.8.5 Задача триангуляции многоугольника
- •5.8.6 Дп, жадный алгоритм или что-то другое?
5.3.2 Сильно связные компоненты
Классическое применение поиска в глубину задача о разложении графа на сильно связные компоненты. Мы покажем, как это можно сделать, дважды выполнив поиск в глубину.
Многие алгоритмы, работающие на ориентированных графах, начинают с отыскания сильно связных компонент: после этого задача решается отдельно для каждой компоненты, а потом решения комбинируются в соответствии со связями между компонентами. Эти связи можно представлять в виде так называемого «графа компонент».
Алгоритм
поиска
сильно
связных
компонент
графа
G = (V, Е)
будет
ис-
пользовать
«транспонированный»
граф
GT = (V, ЕT),
получаемый
из
исходного
обращением
стрелок на
рёбрах:
ЕT
=
((u,
v):
(v,
и)
E).
Такой
граф
можно
построить
за
время
O(V + Е)
(мы
считаем, что
исходный
и
транспони-
рованный
графы
заданы
с
помощью
списков
смежных
вершин). Легко
понять,
что
G
и
GT
имеют
одни
и
те
же
сильно
связные
компоненты
(поскольку
v
до-
стижимо
из
и
в
GT,
если
и
только
если
и
достижимо
из
v
в
GT).
На
рисунке
5.5(б)
показан
результат транспонирования
графа
рис.
5.5(а).
Рисунок 5.5 – Выделение сильно связных компонент
(а) Ориентированный граф G и его сильно связные компоненты (показаны серым). Показан лес поиска в глубину и метки времени для графа G. (б) Транс- понированный граф G. Показан лес поиска в глубину, вычисляемый в строке 3 процедуры STRONGLY-CONNECTED-COMPONENTS. Рёбра дерева обведены серым. Вершины b, с, g, h, являю- щиеся корнями деревьев поиска в глубину (для графа G), выделены чёрным. (в) Ацикличе- ский граф, который получится, если стянуть каждую сильно связную компоненту графа G в точку.
Следующий алгоритм находит сильно связные компоненты ориентированно- го графа G = (V, Е), используя два поиска в глубину – для G и для GT; время работы есть O(V + Е).
Листинг 5.7 – Алгоритм поиска сильно связных компонент
5.4 Алгоритм построения минимального остовного дерева
5.4.1 Остовные деревья минимальной стоимости
Пусть даны n контактов на печатной плате, которые мы хотим электрически со- единить. Для этого достаточно использовать n 1 проводов, каждый из которых соединяет два контакта. При этом мы обычно стремимся сделать суммарную длину проводов как можно меньше.
Упрощая
ситуацию,
можно
сформулировать
задачу
так.
Пусть
имеется
связ-
ный
неориентированный
граф
G
=
(V, Е),
в
котором
V
множество
контактов,
а
Е
множество
их
возможных попарных
соединений.
Для
каждого
ребра
гра-
фа
(и, v)
задан
неотрицательный
вес
w(и, v)
(длина
провода,
необходимого
для
соединения
и
и
v).
Задача
состоит
в
нахождении
подмножества Т
Е,
связы-
вающего
все
вершины,
для
которого
суммарный
вес
минимален. Такое подмножество Т можно считать деревом (в любом цикле один из проводов можно удалить, не нарушая связности). Связный подграф графа G, являющийся деревом и содержащий все его вершины, называют покрывающим деревом (spanning tree) этого графа. (Иногда используют термин «остовное дерево», или, короче, «остов».)
В этом разделе мы рассматриваем задачу о минимальном покрывающем дереве (minimum-spanning-tree problem). Здесь слово «минимальное» означает «имеющее минимально возможный вес». (Заметим в скобках, что если мы рассматриваем только деревья, то условие неотрицательности весов можно отбросить, посколь- ку во всех покрывающих деревьях одинаковое число рёбер и все веса можно изменить на одну и ту же константу, сделав их положительными.) На рисунке 5.6 приведён пример связного графа и его минимального остова.
Возвращаясь
к
примеру
с
проводниками
на
печатной
плате,
объясним,
по-
чему
задача
о
минимальном дереве
является
упрощением
реальной
ситуации.
В
самом
деле,
если
соединяемые контакты
находятся
в
вершинах
единичного
квадрата,
разрешается
соединять
его
любые вершины
и
вес
соединения
равен
его
длине,
то
минимальное
покрывающее
дерево
будет
состоять из
трёх
сторон
квадрата.
Между
тем
все
его
четыре
вершины
можно
электрически
соединить
двумя
пересекающимися
диагоналями
(суммарная
длина
<
3)
и
это
ещё не
предел
(можно
ввести
две
промежуточные
точки,
в
которых
проводники
сходятся
под
углом
1200).
В этом разделе мы рассмотрим два способа решения задачи о минимальном покрывающем дереве: алгоритмы Крускала и Прима. Каждый их них легко реализовать с временем работы O(Е log V), используя обычные двоичные ку- чи. Применив фибоначчиевы кучи, можно сократить время работы алгоритма Прима до O(E + V log V) (выигрыш существен, если |V| много меньше |Е|).
Оба алгоритма (Крускала и Прима) следуют «жадной» стратегии: на каждом шаге выбирается «локально наилучший» вариант. Не для всех задач такой выбор приведёт к оптимальному решению, но для задачи о покрывающем дереве это так.
Рисунок 5.6 – Связный граф и его минимальный остов
На рис. 5.6 изображено минимальное покрывающее дерево. На каждом ребре графа указан вес. Выделены рёбра минимального покрывающего дерева (суммарный вес 37). Такое дерево не единственно: заменяя ребро (b, c) ребром (а, h), получаем другое дерево того же веса 37.