![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Министерство образования Российской Федерации
- •Содержание
- •1.2 Скорость роста функций
- •1.3 Анализ алгоритмов; время работы в лучшем, худшем случаях и в среднем
- •1.4 Типы данных, структуры данных и абстрактные типы данных
- •1.5 Динамические множества
- •2 Алгоритмы сортировок
- •2.1 Понятие внутренней и внешней сортировки
- •2.2 Сортировка вставками
- •2.3 Сортировка слиянием
- •2.3.1 Описание алгоритма
- •2.3.2 Анализ времени работы алгоритмов «разделяй и властвуй»
- •2.3.2 Анализ времени работы сортировки слиянием через рекуррентное соотношение
- •2.3.3 Анализ времени работы сортировки слиянием через геометрическую интерпретацию
- •2.4 Пирамидальная сортировка
- •2.4.1 Введение в алгоритм
- •2.4.2 Сохранение основного свойства кучи
- •2.4.3 Построение кучи
- •2.5 Быстрая сортировка
- •2.5.1 Введение в алгоритм
- •2.5.2 Описание
- •2.5.3 Разбиение массива
- •2.5.4 Особенности работы быстрой сортировки
- •2.6 Особенности реализации алгоритмов сортировки; сортировка за линейное время
- •2.6.1 Введение
- •2.6.2 Разрешающее дерево сортировки сравнениями
- •2.7 Цифровая сортировка
- •2.8 Сортировка вычерпыванием
- •2.8.1 Описание алгоритма
- •2.8.2 Вероятностный анализ времени работы сортировки вычерпыванием
- •2.8.3 Анализ времени работы сортировки вычерпыванием через геометрическую интерпретацию
- •2.9 Сортировка подсчетом
- •2.9.1 Описание алгоритма
- •2.9.2 Анализ времени работы
- •3 Элементарные и нелинейные структуры данных
- •3.1 Элементарные структуры: список, стек, очередь, дек
- •3.1.1 Список Линейный однонаправленный список
- •Линейный двунаправленный список
- •Двунаправленный список с фиктивными элементами
- •Циклические списки
- •Циклический однонаправленный список
- •Циклический двунаправленный список
- •3.1.2 Стек
- •3.1.3 Очередь
- •3.1.3 Дек
- •3.2 Нелинейные структуры данных
- •3.2.1 Представление корневых деревьев в эвм
- •Обходы деревьев
- •3.2.2 Двоичные деревья Спецификация двоичных деревьев
- •Реализация
- •Обходы двоичных деревьев
- •3.2.3 Двоичные деревья поиска Основные операции
- •Минимум и максимум
- •Следующий и предыдущий элементы
- •Добавление и удаление
- •Случайные деревья поиска
- •Оптимальные деревья поиска
- •4 Хеширование
- •4.1 Введение
- •4.2 Прямая адресация; таблицы с прямой адресацией
- •4.3 Хеш – таблицы; возникновение коллизий и их разрешение
- •Разрешение коллизий с помощью цепочек
- •Анализ хеширования с цепочками
- •4.4 Способы построения хеш – функций Выбор хорошей хеш-функции
- •Ключи как натуральные числа
- •Деление с остатком
- •Умножение
- •Универсальное хеширование
- •4.5 Открытая адресация; способы вычисления последовательности испробованных мест: линейная последовательность проб, квадратичная последовательность проб, двойное хеширование
- •Линейная последовательность проб
- •1 / (1 – )
- •5 Основные принципы разработки алгоритмов
- •5.1 Введение в теорию графов
- •5.1.1 Графы
- •5.1.2 Представление графов
- •5.2 Алгоритмы на графах: поиск в ширину, поиск в глубину
- •5.2.1 Поиск в ширину (волновой алгоритм)
- •5.2.2 Анализ поиска в ширину
- •5.2.3 Деревья поиска в ширину
- •5.2.4 Поиск в глубину
- •5.2.5 Анализ поиска в глубину
- •5.2.6 Свойства поиска в глубину
- •5.2.7 Классификация рёбер
- •5.3 Топологическая сортировка, задача о разбиении графа на сильно связанные компоненты
- •5.3.1 Топологическая сортировка
- •5.3.2 Сильно связные компоненты
- •5.4 Алгоритм построения минимального остовного дерева
- •5.4.1 Остовные деревья минимальной стоимости
- •5.4.2 Построение минимального покрывающего дерева
- •5.4.3 Алгоритмы Крускала и Пpимa
- •5.4.4 Алгоритм Крускала
- •5.4.5 Алгоритм Прима
- •5.5 Задача нахождения кратчайших путей на графах; алгоритм Флойда; алгоритм Дейкстры
- •5.5.1 Нахождение кратчайшего пути
- •5.5.2 Алгоритм Дейкстры
- •5.5.3 Алгоритм Флойда
- •5.6 Поиск с возвратом
- •5.6.1 Введение
- •5.6.2 Переборные алгоритмы
- •5.6.3 Метод ветвей и границ
- •5.6.4 Метод альфа-бета отсечения
- •5.6.5 Локальные и глобальные оптимальные решения
- •5.7 Метод декомпозиции ( «Разделяй и властвуй»)
- •5.7.1 «Ханойские башни»
- •5.8 Жадные алгоритмы и динамическое программирование
- •5.8.1 Задача о выборе заявок
- •5.8.2 Дискретная задача о рюкзаке
- •5.8.3 Непрерывная задача о рюкзаке
- •5.8.4 Числа Фибоначчи
- •5.8.5 Задача триангуляции многоугольника
- •5.8.6 Дп, жадный алгоритм или что-то другое?
5.3 Топологическая сортировка, задача о разбиении графа на сильно связанные компоненты
5.3.1 Топологическая сортировка
Пусть имеется ориентированный граф без циклов (directed acyclic graph; это английское название иногда сокращают до «dag»). Задача о топологической сор- тировке (topological sort) этого графа состоит в следующем: надо указать такой линейный порядок на его вершинах, что любое ребро ведёт от меньшей вершины к большей (в смысле этого порядка). Очевидно, что если в графе есть циклы, такого порядка не существует. Можно сформулировать задачу о топологической сортировке и так: расположить вершины графа на горизонтальной прямой так, чтобы все рёбра шли слева направо. (Слово «сортировка» не должно вводить в заблуждение: эта задача весьма отличается от обычной задачи сортировки.)
Вот пример ситуации, в которой возникает такая задача. Рассеянный про- фессор одевается по утрам, причём какие-то вещи обязательно надо надевать до каких-то других (например, носки – до башмаков); в других случаях это всё равно (носки и штаны, например). На рис. 5.4(а) требуемые соотношения показаны в виде ориентированного графа: ребро (u, v) означает, что предмет и должен быть надет до v. Топологическая сортировка этого графа, тем самым, описывает возможный порядок одевания. Один из таких порядков показан на рис. 5.4(б) (надо одеваться слева направо).
Рисунок 5.4 – Пример топологической сортировки
На рис. 5.4 показан пример топологической сортировки. (а) Профессор топологически сортирует свою одежду по утрам. Ребро (u, v) означает, что u должно быть надето до v. Рядом с вершинами показаны времена начала и конца обработки при поиске в глубину. (б) Граф топологически отсортирован (вершины расположены в порядке убывания времени окончания обработки). Все рёбра идут слева направо.
Следующий простой алгоритм топологически сортирует ориентированный ациклический граф.
Листинг 5.6 – Топологическая сортировка
На рисунке 5.4(б) показан результат применения такого алгоритма: значения f[v] убывают слева направо.
Топологическая сортировка выполняется за время O(V + Е), потому что столько времени занимает поиск в глубину, а добавить каждую из |V| вершин к списку можно за время O(1).
Правильность этого алгоритма доказывается с помощью такой леммы:
Лемма 5.6. Ориентированный граф не имеет циклов тогда и только тогда, когда поиск в глубину не находит в нём обратных рёбер.
Доказательство.
Обратное
ребро
соединяет
потомка
с
предком
и
потому
замыкает
цикл,
образованный
рёбрами
дерева.
Пусть
в
графе
имеется
цикл
с.
Докажем,
что
в
этом
случае
поиск
в
глубину
обязательно найдёт
обратное
ребро.
Среди
вершин
цикла
выберем
вершину
v,
которая
будет обнаружена
первой,
и
пусть
(и, v)
ведущее
в
неё
ребро
цикла.
Тогда
в
момент
времени d[v]
из
v
в
и
ведёт
путь
из
белых
вершин.
По
теореме
о
белом
пути
и
станет
потомком
v
в
лесе
поиска
в
глубину,
поэтому
(u,
v)
будет
обратным
ребром.
Теорема 5.7. Процедура TOPOLOGICAL-SORT(G} правильно выполняет топо логическую сортировку ориентированного графа G без циклов.
Доказательство. Нужно доказать, что для любого ребра (u, v) выполнено не- равенство f[v] < f[u]. В момент обработки этого ребра вершина и не может быть серой (это означало бы, что она является предком и и (и, v) является обратным ребром, что противоречит лемме 5.6). Поэтому v в этот момент должна быть белой или чёрной. Если v белая, то она становится ребёнком и, так что f[vl < f[и]. Если она уже чёрная, то тем более f[v] < f[и].