![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Министерство образования Российской Федерации
- •Содержание
- •1.2 Скорость роста функций
- •1.3 Анализ алгоритмов; время работы в лучшем, худшем случаях и в среднем
- •1.4 Типы данных, структуры данных и абстрактные типы данных
- •1.5 Динамические множества
- •2 Алгоритмы сортировок
- •2.1 Понятие внутренней и внешней сортировки
- •2.2 Сортировка вставками
- •2.3 Сортировка слиянием
- •2.3.1 Описание алгоритма
- •2.3.2 Анализ времени работы алгоритмов «разделяй и властвуй»
- •2.3.2 Анализ времени работы сортировки слиянием через рекуррентное соотношение
- •2.3.3 Анализ времени работы сортировки слиянием через геометрическую интерпретацию
- •2.4 Пирамидальная сортировка
- •2.4.1 Введение в алгоритм
- •2.4.2 Сохранение основного свойства кучи
- •2.4.3 Построение кучи
- •2.5 Быстрая сортировка
- •2.5.1 Введение в алгоритм
- •2.5.2 Описание
- •2.5.3 Разбиение массива
- •2.5.4 Особенности работы быстрой сортировки
- •2.6 Особенности реализации алгоритмов сортировки; сортировка за линейное время
- •2.6.1 Введение
- •2.6.2 Разрешающее дерево сортировки сравнениями
- •2.7 Цифровая сортировка
- •2.8 Сортировка вычерпыванием
- •2.8.1 Описание алгоритма
- •2.8.2 Вероятностный анализ времени работы сортировки вычерпыванием
- •2.8.3 Анализ времени работы сортировки вычерпыванием через геометрическую интерпретацию
- •2.9 Сортировка подсчетом
- •2.9.1 Описание алгоритма
- •2.9.2 Анализ времени работы
- •3 Элементарные и нелинейные структуры данных
- •3.1 Элементарные структуры: список, стек, очередь, дек
- •3.1.1 Список Линейный однонаправленный список
- •Линейный двунаправленный список
- •Двунаправленный список с фиктивными элементами
- •Циклические списки
- •Циклический однонаправленный список
- •Циклический двунаправленный список
- •3.1.2 Стек
- •3.1.3 Очередь
- •3.1.3 Дек
- •3.2 Нелинейные структуры данных
- •3.2.1 Представление корневых деревьев в эвм
- •Обходы деревьев
- •3.2.2 Двоичные деревья Спецификация двоичных деревьев
- •Реализация
- •Обходы двоичных деревьев
- •3.2.3 Двоичные деревья поиска Основные операции
- •Минимум и максимум
- •Следующий и предыдущий элементы
- •Добавление и удаление
- •Случайные деревья поиска
- •Оптимальные деревья поиска
- •4 Хеширование
- •4.1 Введение
- •4.2 Прямая адресация; таблицы с прямой адресацией
- •4.3 Хеш – таблицы; возникновение коллизий и их разрешение
- •Разрешение коллизий с помощью цепочек
- •Анализ хеширования с цепочками
- •4.4 Способы построения хеш – функций Выбор хорошей хеш-функции
- •Ключи как натуральные числа
- •Деление с остатком
- •Умножение
- •Универсальное хеширование
- •4.5 Открытая адресация; способы вычисления последовательности испробованных мест: линейная последовательность проб, квадратичная последовательность проб, двойное хеширование
- •Линейная последовательность проб
- •1 / (1 – )
- •5 Основные принципы разработки алгоритмов
- •5.1 Введение в теорию графов
- •5.1.1 Графы
- •5.1.2 Представление графов
- •5.2 Алгоритмы на графах: поиск в ширину, поиск в глубину
- •5.2.1 Поиск в ширину (волновой алгоритм)
- •5.2.2 Анализ поиска в ширину
- •5.2.3 Деревья поиска в ширину
- •5.2.4 Поиск в глубину
- •5.2.5 Анализ поиска в глубину
- •5.2.6 Свойства поиска в глубину
- •5.2.7 Классификация рёбер
- •5.3 Топологическая сортировка, задача о разбиении графа на сильно связанные компоненты
- •5.3.1 Топологическая сортировка
- •5.3.2 Сильно связные компоненты
- •5.4 Алгоритм построения минимального остовного дерева
- •5.4.1 Остовные деревья минимальной стоимости
- •5.4.2 Построение минимального покрывающего дерева
- •5.4.3 Алгоритмы Крускала и Пpимa
- •5.4.4 Алгоритм Крускала
- •5.4.5 Алгоритм Прима
- •5.5 Задача нахождения кратчайших путей на графах; алгоритм Флойда; алгоритм Дейкстры
- •5.5.1 Нахождение кратчайшего пути
- •5.5.2 Алгоритм Дейкстры
- •5.5.3 Алгоритм Флойда
- •5.6 Поиск с возвратом
- •5.6.1 Введение
- •5.6.2 Переборные алгоритмы
- •5.6.3 Метод ветвей и границ
- •5.6.4 Метод альфа-бета отсечения
- •5.6.5 Локальные и глобальные оптимальные решения
- •5.7 Метод декомпозиции ( «Разделяй и властвуй»)
- •5.7.1 «Ханойские башни»
- •5.8 Жадные алгоритмы и динамическое программирование
- •5.8.1 Задача о выборе заявок
- •5.8.2 Дискретная задача о рюкзаке
- •5.8.3 Непрерывная задача о рюкзаке
- •5.8.4 Числа Фибоначчи
- •5.8.5 Задача триангуляции многоугольника
- •5.8.6 Дп, жадный алгоритм или что-то другое?
3.2 Нелинейные структуры данных
3.2.1 Представление корневых деревьев в эвм
Дерево является одним из важных и интересных частных случаев графа, поэтому оно рассматривается отдельно от графов других видов. Деревом называется орграф, для которого:
Существует узел, в который не входит не одной дуги (корень);
В каждую вершину, кроме корня, входит одна дуга.
Вершины дерева подразделяют на следующие три группы:
Корень – вершина, в которую не входит не одной дуги;
Узлы – вершины, в которые входит одна дуга и выходит одна или более дуг;
Листья – вершины, в которые входит одна дуга и не выходит ни одной дуги.
Все вершины, в которые входят дуги, исходящей из одной вершины, называются потомками этой вершины, а сама вершина – предком. Корень не имеет предка, а листья не имеют потомков.
Выделяют уровни дерева. На первом уровне дерева может быть только одна вершина – корень, на втором – потомки корня, на третьем – потомки потомков корня, и т.д.
Поддеревом называется вершина со всеми ее потомками.
Высотой поддерева считается максимальная длина цепи y1...yn его вершин, причем такая, что yi+1 – потомок yi для всех i. Высота пустого дерева равна нулю. Высота дерева из одного корня – единице.
Степенью вершины в дереве называется количество дуг, которое из нее выходит. Степень дерева равна максимальной степени вершины, входящей в дерево. При этом листьями в дереве являются вершины, имеющие степень ноль.
По величине степени дерева часто различают два типа деревьев:
Двоичные – степень дерева не более двух;
Сильноветвящиеся – степень дерева произвольная.
Рисунок 3.9 – Дерево произвольной степени и его динамическая организация (схема «левый ребенок – правый сосед»)
Дерево произвольной степени (сильноветвящееся дерево) можно реализовывать как любой граф. Однако, учитывая специфику дерева как частного случая графа, можно рассмотреть отдельный способ реализации – как динамическая структура в виде списка. Списочное представление деревьев произвольной степени основано на элементах, соответствующих вершинам дерева. Каждый элемент имеет поле данных и два поля указателей: указатель на начало списка потомков вершины и указатель на следующий элемент в списке потомков текущего уровня. При таком способе представления дерева обязательно следует сохранять указатель на вершину, являющуюся корнем дерева. Т.е. по-прежнему в каждой вершине хранится указатель р на родителя и атрибут root[T] является указателем на корень дерева. Кроме р, в каждой вершине хранятся ещё два указателя:
left-child[a] указывает на самого левого ребёнка вершины х;
right-sibling[x] указывает на ближайшего справа соседа вершины х («следующего по старшинству брата»).
Вершина х не имеет детей тогда и только тогда, когда left-child[x] = NIL. Если вершина х – крайний правый ребенок своего родителя, то right-sibling[x] = NIL.
type
PTree = ^TTree;
TTree = record
Data: TypeElement; {поле данных}
Childs, Next: PTree; {указатели на потомков и на следующий}
end;
Обходы деревьев
Существует несколько способов обхода (просмотра) всех вершин дерева. Три наиболее часто используемых способа обхода называются:
в прямом порядке;
в обратном порядке;
в симметричном (внутреннем) порядке.
Все три способа обхода рекурсивно можно определить следующим образом:
Если дерево Tree является пустым деревом, то в список обхода заносится пустая запись;
Если дерево Tree состоит из одной вершины, то в список обхода записывается эта вершина;
Если Tree – дерево с корнем n и поддеревьями Tree1, Tree2, … Treek, то:
при прохождении в прямом порядке сначала посещается корень n, затем в прямом порядке вершины поддерева Tree1, далее в прямом порядке вершины поддерева Tree2, и т.д. Последними в прямом порядке посещаются вершины поддерева Treek;
при прохождении в обратном порядке сначала посещаются в обратном порядке вершины поддерева Tree1, далее последовательно в обратном порядке посещаются вершины поддеревьев Tree2, … Treek. Последним посещается корень n;
при прохождении в симметричном порядке сначала посещаются в симметричном порядке вершины поддерева Tree1, далее корень n, затем последовательно в симметричном порядке вершины поддеревьев Tree2, … Treek.
Рисунок 3.10 – Порядки обхода дерева (прямой, симметричный, обратный)
Далее приведены макеты процедур, реализующих указанные способы обходов деревьев. При доработке представленного кода необходимо учитывать конкретную реализацию деревьев.
procedure PreOrder(n: вершина);
{Обход дерева в прямом порядке}
begin
Занести в список обхода вершину n;
for для каждого потомка s вершины n в порядке слева направо do
PreOrder(s);
end;
procedure InOrder(n: вершина);
{Обход дерева в симметричном порядке}
begin
if n – лист then begin
занести в список обхода узел n;
end else begin
InOrder(самый левый потомок вершины n);
Занести в список обхода вершину n;
for для каждого потомка s вершины n, исключая самый левый,
в порядке слева направо do
InOrder(s);
end;
end;
procedure PostOrder(n: вершина);
{Обход дерева в обратном порядке}
begin
for для каждого потомка s вершины n в порядке слева направо do
PostOrder(s);
Занести в список обхода вершину n;
end;
Листинг 3.21 – Обходы деревьев (PreOrder, InOrder, PostOrder)