![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Министерство образования Российской Федерации
- •Содержание
- •1.2 Скорость роста функций
- •1.3 Анализ алгоритмов; время работы в лучшем, худшем случаях и в среднем
- •1.4 Типы данных, структуры данных и абстрактные типы данных
- •1.5 Динамические множества
- •2 Алгоритмы сортировок
- •2.1 Понятие внутренней и внешней сортировки
- •2.2 Сортировка вставками
- •2.3 Сортировка слиянием
- •2.3.1 Описание алгоритма
- •2.3.2 Анализ времени работы алгоритмов «разделяй и властвуй»
- •2.3.2 Анализ времени работы сортировки слиянием через рекуррентное соотношение
- •2.3.3 Анализ времени работы сортировки слиянием через геометрическую интерпретацию
- •2.4 Пирамидальная сортировка
- •2.4.1 Введение в алгоритм
- •2.4.2 Сохранение основного свойства кучи
- •2.4.3 Построение кучи
- •2.5 Быстрая сортировка
- •2.5.1 Введение в алгоритм
- •2.5.2 Описание
- •2.5.3 Разбиение массива
- •2.5.4 Особенности работы быстрой сортировки
- •2.6 Особенности реализации алгоритмов сортировки; сортировка за линейное время
- •2.6.1 Введение
- •2.6.2 Разрешающее дерево сортировки сравнениями
- •2.7 Цифровая сортировка
- •2.8 Сортировка вычерпыванием
- •2.8.1 Описание алгоритма
- •2.8.2 Вероятностный анализ времени работы сортировки вычерпыванием
- •2.8.3 Анализ времени работы сортировки вычерпыванием через геометрическую интерпретацию
- •2.9 Сортировка подсчетом
- •2.9.1 Описание алгоритма
- •2.9.2 Анализ времени работы
- •3 Элементарные и нелинейные структуры данных
- •3.1 Элементарные структуры: список, стек, очередь, дек
- •3.1.1 Список Линейный однонаправленный список
- •Линейный двунаправленный список
- •Двунаправленный список с фиктивными элементами
- •Циклические списки
- •Циклический однонаправленный список
- •Циклический двунаправленный список
- •3.1.2 Стек
- •3.1.3 Очередь
- •3.1.3 Дек
- •3.2 Нелинейные структуры данных
- •3.2.1 Представление корневых деревьев в эвм
- •Обходы деревьев
- •3.2.2 Двоичные деревья Спецификация двоичных деревьев
- •Реализация
- •Обходы двоичных деревьев
- •3.2.3 Двоичные деревья поиска Основные операции
- •Минимум и максимум
- •Следующий и предыдущий элементы
- •Добавление и удаление
- •Случайные деревья поиска
- •Оптимальные деревья поиска
- •4 Хеширование
- •4.1 Введение
- •4.2 Прямая адресация; таблицы с прямой адресацией
- •4.3 Хеш – таблицы; возникновение коллизий и их разрешение
- •Разрешение коллизий с помощью цепочек
- •Анализ хеширования с цепочками
- •4.4 Способы построения хеш – функций Выбор хорошей хеш-функции
- •Ключи как натуральные числа
- •Деление с остатком
- •Умножение
- •Универсальное хеширование
- •4.5 Открытая адресация; способы вычисления последовательности испробованных мест: линейная последовательность проб, квадратичная последовательность проб, двойное хеширование
- •Линейная последовательность проб
- •1 / (1 – )
- •5 Основные принципы разработки алгоритмов
- •5.1 Введение в теорию графов
- •5.1.1 Графы
- •5.1.2 Представление графов
- •5.2 Алгоритмы на графах: поиск в ширину, поиск в глубину
- •5.2.1 Поиск в ширину (волновой алгоритм)
- •5.2.2 Анализ поиска в ширину
- •5.2.3 Деревья поиска в ширину
- •5.2.4 Поиск в глубину
- •5.2.5 Анализ поиска в глубину
- •5.2.6 Свойства поиска в глубину
- •5.2.7 Классификация рёбер
- •5.3 Топологическая сортировка, задача о разбиении графа на сильно связанные компоненты
- •5.3.1 Топологическая сортировка
- •5.3.2 Сильно связные компоненты
- •5.4 Алгоритм построения минимального остовного дерева
- •5.4.1 Остовные деревья минимальной стоимости
- •5.4.2 Построение минимального покрывающего дерева
- •5.4.3 Алгоритмы Крускала и Пpимa
- •5.4.4 Алгоритм Крускала
- •5.4.5 Алгоритм Прима
- •5.5 Задача нахождения кратчайших путей на графах; алгоритм Флойда; алгоритм Дейкстры
- •5.5.1 Нахождение кратчайшего пути
- •5.5.2 Алгоритм Дейкстры
- •5.5.3 Алгоритм Флойда
- •5.6 Поиск с возвратом
- •5.6.1 Введение
- •5.6.2 Переборные алгоритмы
- •5.6.3 Метод ветвей и границ
- •5.6.4 Метод альфа-бета отсечения
- •5.6.5 Локальные и глобальные оптимальные решения
- •5.7 Метод декомпозиции ( «Разделяй и властвуй»)
- •5.7.1 «Ханойские башни»
- •5.8 Жадные алгоритмы и динамическое программирование
- •5.8.1 Задача о выборе заявок
- •5.8.2 Дискретная задача о рюкзаке
- •5.8.3 Непрерывная задача о рюкзаке
- •5.8.4 Числа Фибоначчи
- •5.8.5 Задача триангуляции многоугольника
- •5.8.6 Дп, жадный алгоритм или что-то другое?
Случайные деревья поиска
Случайные деревья поиска представляют собой упорядоченные бинарные деревья поиска, при создании которых элементы (их ключи) вставляются в случайном порядке.
При создании таких деревьев используется тот же алгоритм, что и при добавлении вершины в бинарное дерево поиска. Будет ли созданное дерево случайным или нет, зависит от того, в каком порядке поступают элементы для добавления. Примеры различных деревьев, создаваемых при различном порядке поступления элементов приведены ниже.
Рисунок 3.15 – Случайные и вырожденные деревья поиска
При поступлении элементов в случайном порядке получаем дерево с минимальной высотой h (см. рис. 3.12.а), а соответственно минимизируется время поиска элемента в таком дереве, которое пропорционально O(log n). При поступлении элементов в упорядоченном виде (см. рис. 3.12.б) или в несколько необычном порядке (см. рис. 3.12.в) происходит построение вырожденных деревьев поиска (оно вырождено в линейный список), что нисколько не сокращает время поиска, которое составляет O(n).
Оптимальные деревья поиска
При поиске в двоичном дереве одни элементы могут искаться чаще, чем другие, то есть существуют вероятности pk поиска k-го элемента и для различных элементов эти вероятности неодинаковы. Можно сразу предположить, что поиск в дереве в среднем будет более быстрым, если те элементы, которые ищутся чаще, будут находиться ближе к корню дерева.
Пусть даны 2n + 1 вероятностей p1, p2, …, pn, q0, q1, …, qn, где
pi – вероятность того, что аргументом поиска является Ki;
qi – вероятность того, что аргумент поиска лежит между Ki и Ki+1;
q0 – вероятность того, что аргумент поиска меньше, чем K1;
qn – вероятность того, что аргумент поиска больше, чем Kn;
Тогда цена дерева поиска C будет определяться следующим образом:
где levelrootj – уровень узла j, а levellistk – уровень листа k.
Дерево поиска называется оптимальным, если его цена минимальна или, другими словами, оптимальное бинарное дерево поиска – это бинарное дерево поиска, построенное в расчете на обеспечение максимальной производительности при заданном распределении вероятностей поиска требуемых данных.
Существует подход построения оптимальных деревьев поиска, при котором элементы вставляются в порядке уменьшения частот, что дает в среднем неплохие деревья поиска. Однако этот подход может дать вырожденное дерево поиска, которое будет далеко от оптимального.
Еще один подход состоит в выборе корня k таким образом, чтобы максимальная сумма вероятностей для вершин левого поддерева или правого поддерева была настолько мала, насколько это возможно. Такой подход также может оказаться плохим в случае выбора в качестве корня элемента с малым значением pk.
Существуют алгоритмы, которые позволяют построить оптимальное дерево поиска. К ним относится, например, алгоритм Гарсия-Воча. Однако такие алгоритмы имеют временную сложность порядка O(n2), а некоторые еще имеют такую же пространственную сложность. Таким образом, создание оптимальных деревьев поиска требует больших накладных затрат, что не всегда оправдывает выигрыш при быстром поиске.