5.2.5 Анализ поиска в глубину

Подсчитаем общее число операций при выполнении процедуры DFS. Цик- лы в строках 1 – 3 и 5 – 7 требуют (V) времени (помимо вызовов DFS-VISIT). Процедура DFS-VISIT вызывается ровно один раз для каждой вершины (ей передаётся белая вершина, и она сразу же делает её серой). Во время выполнения DFS-VISIT(v) цикл в строках 3 – 6 выполняется |Adj[v]| раз. Поскольку

общее время выполнения строк 3 – 6 процедуры DFS-VISIT составляет (Е). В сумме получается время (V + E).

Проще можно сказать и так: поиск в глубину для полного обхода графа с n вершинами и m дугами требует общего времени порядка O(max(n, m)). Поскольку обычно m  n, то получается O(m).

5.2.6 Свойства поиска в глубину

Прежде всего отметим, что подграф предшествования (составленный из деревьев поиска в глубину) в точности соответствует структуре рекурсивных вызовов процедуры DFS-VISIT. Именно, u = [v] тогда и только тогда, когда произошёл вызов DFS-VISIT(v) во время просмотра списка смежных с и вершин.

Другое важное свойство состоит в том, что времена обнаружения и окон- чания обработки образуют правильную скобочную структуру (parenthesis struc- ture). Будем обозначать обнаружение вершины и открывающейся скобкой с пометкой и, а окончание её обработки закрывающейся с тои же пометкой. Тогда перечень событий будет правильно построенным выражением из скобок (парные скобки имеют одинаковые пометки). Например, поиску в глубину на рис. 5.3(а) соответствует расстановка скобок, изображённая на рис. 5.3(б).

Чтобы доказать эти и другие свойства, мы должны рассуждать по индук- ции. При этом, доказывая требуемое свойство рекурсивной процедуры DFS-- VISIT, мы предполагаем, что рекурсивные вызовы этой процедуры обладают выбранным свойством.

Убедимся вначале, что вызов DFS-VISIT(u) для белой вершины и делает чёрной эту вершину и все белые вершины, доступные из неё по белым путям (в которых все промежуточные вершины также белые), и оставляет серые и чёрные вершины без изменений.

В самом деле, рекурсивные вызовы в строке 6 выполняются лишь для белых вершин, являющихся смежными с и. Если какая-то вершина w была закрашена в ходе этих вызовов, то (по индуктивному предположению) она была доступна по белому пути из одной из белых вершин, смежных с и, и потому доступна по белому пути из и.

Напротив, если вершина w доступна по белому пути из и, то она доступна по белому пути из какой-то белой вершины v, смежной с и (посмотрим на первый шаг пути). Будем считать, что v первая из таких вершин (в порядке просмотра в строке 3). В этом случае все вершины белого пути из v в w останутся белыми к моменту вызова DFS-VISIT(v), поскольку они недоступны по белым путям из предшествующих v вершин (иначе w была бы также доступна). По индуктивному предположению w станет чёрной после вызова DFS-VISIT(v).

Кроме того, сама вершина и станет сначала серой, а потом чёрной. (За- метим, что мы могли бы сразу сделать её чёрной, и программа осталась бы правильной, так как она никак не различает серые и чёрные вершины, однако различие между серым и чёрным нам пригодится в дальнейшем.)

Рисунок 5.3 – Свойства поиска в глубину

На рис. 5.3 изображены: (а) Результат поиска. (б) Промежутки между обнаружением и окончанием обработки для каждой из вершин, изображённые в виде прямоугольников. Стрелки указывают структуру деревьев поиска в глубину. (в) Отмечены рёбра исходного графа с указанием их типов (рёбра дерева и прямые рёбра ведут вниз, обратные ведут вверх).

Ясно также, что цвета серых и чёрных вершин остаются без изменений (поскольку это верно для рекурсивных вызовов по индуктивному предположе- нию).

Аналогичные рассуждения по индукции позволяют установить, что вызов DFS‑VISIT(u) меняет поля [v] для всех окрашиваемых вершин v, отличных от и, тем самым формируя из них дерево с корнем в и, а также добавляет к описанному выше протоколу из скобок с пометками правильное скобочное выражение, внешние скобки которого имеют пометку и, а внутри находятся скобки с пометками, соответствующими окрашиваемым вершинам.

Подводя итоги, можно сформулировать следующие утверждения.

Теорема 5.2 (о скобочной структуре). При поиске в глубину в ориентирован- ном или неориентированном графе G = (V, Е) для любых двух вершин u и v выполняется ровно одно из следующих трёх утверждений:

• отрезки [d[u], f [u]] и [d[v], f[v]] не пересекаются;

• отрезок [d[u],f[u]] целиком содержится внутри отрезка [d[v],f[v]] и u – потомок v в дереве поиска в глубину;

• отрезок [d[v], f[v]] целиком содержится внутри отрезка [d[u], f[u]] и v – потомок и в дереве поиска в глубину.

Следствие 5.3 (вложение интервалов для потомков). Вершина v является (от- личным от u) потомком вершины и в лесе поиска в глубину для (ориентирован- ного или неориентированного) графа G, если и только если d[u] < d[v] < f [v] < f[u].

Теорема 5.4 (о белом пути). Вершина v является потомком вершины u в лесе поиска в глубину (для ориентированного или неориентированного графа G = (V, Е)) в том и только том случае, если в момент времени d[u], когда вершина u обнаружена, существует путь из u в v, состоящий только из белых вершин.