Минимум и максимум
Минимальный ключ в дереве поиска можно найти, пройдя по указателям left от корня (пока не дойдем до NIL). Процедура возвращает указатель на минимальный элемент поддерева с корнем х.
Листинг 3.26 – Процедура поиска минимального элемента в двоичном дереве поиска
Свойство упорядоченности гарантирует правильность процедуры
Tree- Minimum. Если у вершины х нет левого ребёнка, то минимальный элемент поддерева с корнем х есть х, так как любой ключ в правом поддереве не меньше key[x]. Если же левое поддерево вершины х не пусто, то минимальный элемент поддерева с корнем х находится в этом левом поддереве (поскольку сам х и все элементы правого поддерева больше).
Алгоритм Tree-Maximum симметричен:
Листинг 3.27 – Процедура поиска максимального элемента в двоичном дереве поиска
Оба алгоритма требуют времени O(h), где h — высота дерева (поскольку двигаются по дереву только вниз).
Следующий и предыдущий элементы
Как найти в двоичном дереве элемент, следующий за данным? Свойство упорядоченности позволяет сделать это, двигаясь по дереву. Вот процедура, которая возвращает указатель на следующий за х элемент (если все ключи различны, он содержит следующий по величине ключ) или NIL, если элемент - последний в дереве:
Листинг 3.28 – Процедура поиска следующего (в смысле порядка на ключах) элемента в двоичном дереве поиска
Процедура Tree-Successor отдельно рассматривает два случая. Если пра- вое поддерево вершины х непусто, то следующий за х элемент минимальный элемент в этом поддереве и равен Tree-Minimum(right[x]).
Пусть теперь правое поддерево вершины х пусто. Тогда мы идём от х вверх, пока не найдём вершину, являющуюся левым сыном своего родителя (строки 3 – 7). Этот родитель (если он есть) и будет искомым элементом. Формально говоря, цикл в строках 4 – 6 сохраняет такое свойство: у = p[z]; искомый элемент непосредственно следует за элементами поддерева с корнем в х.
Время работы процедуры Tree-Successor на дереве высоты h есть O(h), так как мы двигаемся либо только вверх, либо только вниз.
Процедура Tree-Predecessor симметрична. Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Операции Search, Minimum, Maximum, Successor и Predecessor на дереве высоты h выполняются за время O(h).
Добавление и удаление
Далее будет рассмотрен нерекурсивный алгоритм добавления элемента в дерево. Сначала надо найти вершину, к которой в качестве потомка необходимо добавить новую вершину (фактически, произвести поиск), а затем присоединить к найденной новую вершину, содержащую значение Item (процедура написана в предположении, что добавляемого элемента в дереве нет).
procedure TreeAdd(Item: TypeElement; var Tree: PTree);
{Добавление в дерево вершины со значением Item}
var
NewNode, Current: PTree;
begin
if Tree = nil then begin {Дерево пустое}
{Создаем корень}
New(Tree);
Tree^.Data := Item;
Tree^.Left := nil;
Tree^.Right := nil;
end else begin
Current := Tree;
{Поиск вершины}
while ((Item > Current^.Data) and (Current^.Right <> nil)) or
((Item < Current^.Data) and (Current^.Left <> nil)) do
if Item > Current^.Data then
Current := Current^.Right
else
Current := Current^.Left;
{Создание новой вершины}
New(NewNode);
NewNode^.Data := Item;
NewNode^.Left := nil;
NewNode^.Right := nil;
If Item > Current^.Data then {Новая вершина больше найденной}
Current^.Right := NewNode {Присоединяем новую справа}
else {Новая вершина меньше найденной}
Current^.Left := NewNode; {Присоединяем новую слева}
end;
end;
Листинг 3.29 – Процедура добавления элемента в двоичное дерево поиска
Листинг 3.30 – Процедура добавления элемента в двоичное дерево поиска
Процедура удаления элемента будет несколько сложнее. При удалении может случиться, что удаляемый элемент находится не в листе, то есть вершина имеет ссылки на реально существующие поддеревья. Эти поддеревья терять нельзя, а присоединить два поддерева на одно освободившееся после удаления место невозможно. Поэтому необходимо поместить на освободившееся место либо самый правый элемент из левого поддерева, либо самый левый из правого поддерева. Нетрудно убедиться, что упорядоченность дерева при этом не нарушится. Договоримся, что будем заменять самый левый элемент из правого поддерева (следующий в смысле порядка на ключах, Successor).
Нельзя забывать, что при замене вершина, на которую производится замена, может иметь правое поддерево. Это поддерево необходимо поставить вместо перемещаемой вершины.
procedure TreeDelete(Item: TypeElement; var Tree: PTree);
{Удаление из дерева вершины со значением Item}
var
Parent, Cur, Cur2: PTree;
Direction: (L, R); {направление движения (влево/вправо)}
begin
{Поиск удаляемого элемента}
Parent := nil; {предок удаляемой вершины}
Cur := Tree;
while ((Item > Cur^.Data) and (Cur^.Right <> nil)) or
((Item < Cur^.Data) and (Cur^.Left <> nil)) do begin
Parent := Cur;
if Item > Cur^.Data then begin
Cur := Cur^.Right; Direction := R;
end else begin
Cur := Cur^.Left; Direction := L;
end;
end;
if Cur <> nil then begin {Вершина найдена}
{Анализируем наличие потомков у найденной вершины}
{и удаляем соответствующим образом}
if (Cur^.Left <> nil) and (Cur^.Right <> nil) then begin
{Удаление вершины в случае наличия у нее обоих потомков}
Parent := Cur; Cur2 := Cur^.Right;
{Поиск кандидатуры на замену}
while Cur2^.Left <> nil do begin
Parent := Cur2; Cur2 := Cur2^.Left;
end;
{Заменяем}
Cur^.Data := Cur2^.Data;
{Спасаем правое поддерево вершины, которой заменяем}
if Parent <> Cur then
Parent^.Left := Cur2^.Right
else
Parent^.Right := Cur2^.Right;
Dispose(Cur2);
end else begin
{Удаление вершины в случае наличия у нее}
{не более одного потомка}
if (Cur^.Left = nil) then begin
if Parent <> nil then begin
if Direction = L then
Parent^.Left := Cur^.Right
else
Parent^.Right := Cur^.Right;
end else begin
Tree := Cur^.Right;
end;
end;
if (Cur^.Right = nil) then begin
if Parent <> nil then begin
if Direction = L then
Parent^.Left := Cur^.Left
else
Parent^.Right := Cur^.Left;
end else begin
Tree := Cur^.Left;
end;
end;
Dispose(Cur);
end;
end;
end;
Листинг 3.31 – Процедура удаления элемента из двоичного дерева поиска
Листинг 3.32 – Процедура удаления элемента из двоичного дерева поиска
Рисунок 3.14 – Удаление элемента из двоичного дерева поиска
Удаление вершины z из двоичного дерева поиска. (а) Если вершина z не имеет детей её можно удалить без проблем. (6) Если вершина z имеет одного ребёнка, помещаем его на место вершины z. (в) Если у вершины z двое детей, процесс сводится к предыдущему случаю, т.е. удаляем вместо неё вершину у с непосредственно следующим значением ключа (у этой вершины ребёнок один) и помещая ключ kеу[у] (и связанные с ним дополнительные данные) на место вершины z.
Временная сложность этих алгоритмов (она одинакова для этих алгоритмов, так как в их основе лежит поиск) оценим для наилучшего и наихудшего случая. В лучшем случае, – то есть случае полного двоичного дерева – получаем сложность Omin(log n). В худшем случае дерево может выродиться в список. Такое может произойти, например, при добавлении элементов в порядке возрастания. При работе со списком в среднем придется просмотреть половину списка. Это даст сложность Omax(n).
В процедуре очистки дерева применяется обратный метод обхода дерева. Использование обратного метода обхода гарантирует, что будут сначала посещены и удалены все потомки предка, прежде чем удалится сам предок.
procedure TreeClear(var Tree: PTree);
{Очистка дерева}
begin
if Tree <> nil then begin
TreeClear(Tree^.Left);
TreeClear(Tree^.Right);
Dispose(Tree);
Tree := nil;
end;
end;
Листинг 3.33 – Процедура очистки двоичного дерева поиска
Временная сложность этой операции O(n).