- •Министерство образования Российской Федерации
- •Содержание
- •1.2 Скорость роста функций
- •1.3 Анализ алгоритмов; время работы в лучшем, худшем случаях и в среднем
- •1.4 Типы данных, структуры данных и абстрактные типы данных
- •1.5 Динамические множества
- •2 Алгоритмы сортировок
- •2.1 Понятие внутренней и внешней сортировки
- •2.2 Сортировка вставками
- •2.3 Сортировка слиянием
- •2.3.1 Описание алгоритма
- •2.3.2 Анализ времени работы алгоритмов «разделяй и властвуй»
- •2.3.2 Анализ времени работы сортировки слиянием через рекуррентное соотношение
- •2.3.3 Анализ времени работы сортировки слиянием через геометрическую интерпретацию
- •2.4 Пирамидальная сортировка
- •2.4.1 Введение в алгоритм
- •2.4.2 Сохранение основного свойства кучи
- •2.4.3 Построение кучи
- •2.5 Быстрая сортировка
- •2.5.1 Введение в алгоритм
- •2.5.2 Описание
- •2.5.3 Разбиение массива
- •2.5.4 Особенности работы быстрой сортировки
- •2.6 Особенности реализации алгоритмов сортировки; сортировка за линейное время
- •2.6.1 Введение
- •2.6.2 Разрешающее дерево сортировки сравнениями
- •2.7 Цифровая сортировка
- •2.8 Сортировка вычерпыванием
- •2.8.1 Описание алгоритма
- •2.8.2 Вероятностный анализ времени работы сортировки вычерпыванием
- •2.8.3 Анализ времени работы сортировки вычерпыванием через геометрическую интерпретацию
- •2.9 Сортировка подсчетом
- •2.9.1 Описание алгоритма
- •2.9.2 Анализ времени работы
- •3 Элементарные и нелинейные структуры данных
- •3.1 Элементарные структуры: список, стек, очередь, дек
- •3.1.1 Список Линейный однонаправленный список
- •Линейный двунаправленный список
- •Двунаправленный список с фиктивными элементами
- •Циклические списки
- •Циклический однонаправленный список
- •Циклический двунаправленный список
- •3.1.2 Стек
- •3.1.3 Очередь
- •3.1.3 Дек
- •3.2 Нелинейные структуры данных
- •3.2.1 Представление корневых деревьев в эвм
- •Обходы деревьев
- •3.2.2 Двоичные деревья Спецификация двоичных деревьев
- •Реализация
- •Обходы двоичных деревьев
- •3.2.3 Двоичные деревья поиска Основные операции
- •Минимум и максимум
- •Следующий и предыдущий элементы
- •Добавление и удаление
- •Случайные деревья поиска
- •Оптимальные деревья поиска
- •4 Хеширование
- •4.1 Введение
- •4.2 Прямая адресация; таблицы с прямой адресацией
- •4.3 Хеш – таблицы; возникновение коллизий и их разрешение
- •Разрешение коллизий с помощью цепочек
- •Анализ хеширования с цепочками
- •4.4 Способы построения хеш – функций Выбор хорошей хеш-функции
- •Ключи как натуральные числа
- •Деление с остатком
- •Умножение
- •Универсальное хеширование
- •4.5 Открытая адресация; способы вычисления последовательности испробованных мест: линейная последовательность проб, квадратичная последовательность проб, двойное хеширование
- •Линейная последовательность проб
- •1 / (1 – )
- •5 Основные принципы разработки алгоритмов
- •5.1 Введение в теорию графов
- •5.1.1 Графы
- •5.1.2 Представление графов
- •5.2 Алгоритмы на графах: поиск в ширину, поиск в глубину
- •5.2.1 Поиск в ширину (волновой алгоритм)
- •5.2.2 Анализ поиска в ширину
- •5.2.3 Деревья поиска в ширину
- •5.2.4 Поиск в глубину
- •5.2.5 Анализ поиска в глубину
- •5.2.6 Свойства поиска в глубину
- •5.2.7 Классификация рёбер
- •5.3 Топологическая сортировка, задача о разбиении графа на сильно связанные компоненты
- •5.3.1 Топологическая сортировка
- •5.3.2 Сильно связные компоненты
- •5.4 Алгоритм построения минимального остовного дерева
- •5.4.1 Остовные деревья минимальной стоимости
- •5.4.2 Построение минимального покрывающего дерева
- •5.4.3 Алгоритмы Крускала и Пpимa
- •5.4.4 Алгоритм Крускала
- •5.4.5 Алгоритм Прима
- •5.5 Задача нахождения кратчайших путей на графах; алгоритм Флойда; алгоритм Дейкстры
- •5.5.1 Нахождение кратчайшего пути
- •5.5.2 Алгоритм Дейкстры
- •5.5.3 Алгоритм Флойда
- •5.6 Поиск с возвратом
- •5.6.1 Введение
- •5.6.2 Переборные алгоритмы
- •5.6.3 Метод ветвей и границ
- •5.6.4 Метод альфа-бета отсечения
- •5.6.5 Локальные и глобальные оптимальные решения
- •5.7 Метод декомпозиции ( «Разделяй и властвуй»)
- •5.7.1 «Ханойские башни»
- •5.8 Жадные алгоритмы и динамическое программирование
- •5.8.1 Задача о выборе заявок
- •5.8.2 Дискретная задача о рюкзаке
- •5.8.3 Непрерывная задача о рюкзаке
- •5.8.4 Числа Фибоначчи
- •5.8.5 Задача триангуляции многоугольника
- •5.8.6 Дп, жадный алгоритм или что-то другое?
Линейный двунаправленный список
В этом линейном списке любой элемент имеет два указателя, один из которых указывает на следующий элемент в списке или является пустым указателем у последнего элемента, а второй указывает на предыдущий элемент в списке или является пустым указателем у первого элемента.
Рисунок 3.2 – Линейный двусвязный список
Основные операции, осуществляемые с линейным двунаправленным списком те же, что и с однонаправленным линейным списком:
– вставка элемента;
– просмотр;
– поиск;
– удаление элемента.
Следует обратить внимание на то, что в отличии от однонаправленного списка здесь нет необходимости обеспечивать позиционирование какого-либо указателя именно на первый элемент списка, так как благодаря двум указателям в элементах можно получить доступ к любому элементу списка из любого другого элемента осуществляя переходы в прямом или обратном направлении. Однако часто бывает полезно иметь указатель на заголовок списка.
Для описания алгоритмов этих основных операций используем следующие объявления:
type
PElement = ^TypeElement;{указатель на тип элемента}
TypeElement = record {тип элемента списка}
Data: TypeData; {поле данных элемента}
Next, {поле указателя на следующий элемент}
Last: PElement; {поле указателя на предыдующий элемент}
end;
var
ptrHead: PElement; {указатель на первый элемент списка}
ptrCurrent: PElement; {указатель на текущий элемент}
Операция вставки реализовывается с помощью двух процедур, аналогичных процедурам вставки для линейного однонаправленного списка: InsFirst_LineDubleList и Ins_LineDubleList. Однако, при вставке последующего элемента придется учитывать особенности добавления элемента в конец списка.
procedure Ins_LineDubleList(DataElem: TypeData;
var ptrHead, ptrCurrent: PElement);
{Вставка непервого элемента в линейный двунаправленный список}
{справа от элемента, на который указывает ptrCurrent}
var
ptrAddition: PElement; {вспомогательный указатель}
begin
New(ptrAddition);
ptrAddition^.Data := DataElem;
if ptrHead = nil then begin {список пуст}
{создаем первый элемент списка}
ptrAddition^.Next := nil;
ptrAddition^.Last := nil;
ptrHead := ptrAddition;
end else begin {список не пуст}
{вставляем элемент списка справа от элемента,}
{на который указывает ptrCurrent}
if ptrCurrent^.Next <> nil then {вставляем не последний}
ptrCurrent^.Next^.Last := ptrAddition;
ptrAddition^.Next := ptrCurrent^.Next;
ptrCurrent^.Next := ptrAddition;
ptrAddition^.Last := ptrCurrent;
end;
ptrCurrent := ptrAddition;
end;
procedure InsFirst_LineDubleList(DataElem: TypeData;
var ptrHead: PElement);
{Вставка первого элемента в линейный двунаправленный список}
var
ptrAddition: PElement; {вспомогательный указатель}
begin
New(ptrAddition);
ptrAddition^.Data := DataElem;
ptrAddition^.Last := nil;
if ptrHead = nil then begin {список пуст}
{создаем первый элемент списка}
ptrAddition^.Next := nil;
end else begin {список не пуст}
{вставляем новый элемент слева (перед) первым элементом}
ptrAddition^.Next := ptrHead;
ptrHead^.Last := ptrAddition;
end;
ptrHead := ptrAddition;
end;
Листинг 3.4 – Процедуры добавления элемента в двусвязный список (в хвост и голову)
Порядок следования операторов присваивания обеих процедур здесь также очень важен. При неправильном переопределении указателей возможен разрыв списка или потери указателя на первый элемент, что приводит к потере доступа к части или всему списку.
Ниже представлен псевдокод процедуры List-Insert, которая добавляет элемент х к списку L, помещая его в голову списка.
Листинг 3.5 – Добавление элемента в голову списка
Процедура List-Insert выполняется за время O(1) (не зависящее от длины списка).
Операция просмотра и операция поиска для линейного двунаправленного списка реализуются абсолютно аналогично соответствующим процедурам для линейного однонаправленного списка, и приводить их не будем. Отметим только, что просматривать и искать здесь можно в обоих направлениях.
Операция удаления элемента также осуществляется во многом аналогично удалению из линейного однонаправленного списка.
procedure Del_LineDubleList(var ptrHead,
ptrCurrent: PElement);
{Удаление элемента из линейного двунаправленного списка}
var
ptrAddition: PElement; {вспомогательный указатель}
begin
if ptrCurrent <> nil then begin {вх.параметр корректен}
if ptrCurrent = ptrHead then begin {удаляем первый}
ptrHead := ptrHead^.Next;
dispose(ptrCurrent);
ptrHead^.Last := nil;
ptrCurrent := ptrHead;
end else begin { удаляем не первый }
if ptrCurrent^.Next = nil then begin {удаляем последний}
ptrCurrent^.Last^.Next := nil;
dispose(ptrCurrent);
ptrCurrent := ptrHead;
end else begin {удаляем не последний и не первый}
ptrAddition := ptrCurrent^.Next;
ptrCurrent^.Last^.Next := ptrCurrent^.Next;
ptrCurrent^.Next^.Last := ptrCurrent^.Last;
dispose(ptrCurrent);
ptrCurrent := ptrAddition;
end;
end;
end;
end;
Листинг 3.6 – Процедура удаления элемента из двусвязного списка
Ниже представлена процедура List-Delete на псевдокоде, которая удаляет элемент х из списка L, направляя указатели «в обход» этого элемента. При этом в качестве аргумента ей передаётся указатель на х. Если задан ключ элемента х, то перед удалением надо найти его указатель с помощью процедуры List-Search.
Листинг 3.7 – Удаление элемента из двусвязного списка
Процедура List-Delete работает за время O(1); однако для удаления элемента с заданные ключом его надо сначала найти, что потребует времени (n).
Использование двух указателей в линейном двунаправленном списке позволяет ускорить операции, связанные с передвижением по списку за счет двунаправленности этого движения. Однако, элементы списка за счет дополнительного поля занимают больший объем памяти. Кроме того, усложнились операции вставки и удаления элементов за счет необходимости манипулирования большим числом указателей.