2.5.4 Особенности работы быстрой сортировки

Время работы алгоритма быстрой сортировки зависит от того, как разбива­ется массив на каждом шаге. Если разбиение происходит на примерно равные части, время работы составляет O(nlog n), как и для сортировки слиянием. Если же размеры частей сильно отличаются, сортировка может занимать время O(п²), как при сортировке вставками.

«Наиболее неравные части» получатся, если одна часть содержит n – 1 элемент, а вторая – всего 1. Предположим, что на каждом шаге происходит именно так. Поскольку процедура разбиения занимает время (n), для времени работы Т(п) получается соотношение

Поскольку T(1) = (l)

Т.е. время работы быстрой сортировки в худшем случае равно (n²) .

Рисунок 2.6 – Дерево рекурсии процедуры Quicksort для наихудшего случая

Рисунок 2.7 – Дерево рекурсии процедуры Quicksort для наилучшего случая

Если на каждом шаге массив разбивается ровно пополам, быстрая сор­тировка требует значительно меньше времени. Действительно, в этом случае рекуррентное соотношение имеет вид

2.6 Особенности реализации алгоритмов сортировки; сортировка за линейное время

2.6.1 Введение

В предыдущих разделах были рассмотрены различные алгоритмы, которые могут отсортировать п чисел за время О(пlog n). Алгоритмы сортировки слиянием (merge sort) и сортировки с помощью кучи (heap sort) работают за такое время в худшем случае, а у алгоритма быстрой сортировки таковым является среднее время работы. Оценка O(nlog n) точна: для каждого из этих алгоритмов можно предъявить последовательность из п чисел, время обработки которой будет (nlog n).

Все упомянутые алгоритмы проводят сортировку, основываясь исключительно на попарных сравнениях элементов, поэтому их иногда называют сорти­ровками сравнением (comparison sort). В дальнейшем будет доказано, что алгоритм такого типа сортирует п элементов за время не меньше (nlog n) в худшем случае. Тем самым алгоритмы сортировки слиянием и с помощью кучи асимптотически оптимальны: не существует алгоритма сортировки сравнением, который превосходил бы указанные алгоритмы более чем в конечное число раз.

Три алгоритма сортировки – сортировка подсчётом, цифровая сортировка и сортировка вычерпыванием могут работать за линейное время. Разумеется, они улучшают оценку (nlog n) за счёт того, что используют не только попарные сравнения, но и внутреннюю структуру сортируемых объектов, т.е. дополнительную априорную информацию. Без использования дополнительной информации сортировка за линейное время невозможна.

Говорят, что алгоритм сортировки основан на сравнениях, если он никак не использует внутреннюю структуру сортируемых элементов, а лишь сравнивает их и после некоторого числа сравнений выдаёт ответ (указывающий истин­ный порядок элементов).

2.6.2 Разрешающее дерево сортировки сравнениями

На рис. 2.8 изображено разрешающее дерево (decision tree), соответствующее сортировке последовательности из трёх элементов с по­мощью алгоритма сортировки вставками.

Рисунок 2.8 – Разрешающее дерево сортировки вставками

Поскольку число перестановок из трёх элементов равно 3! = 6, у дерева должно быть не менее 6 листьев. Поскольку двоичное дерево высоты h имеет не более 2^h листьев, имеем n! ≤ 2^h. Логарифмируя это неравенство по основанию 2 и пользуясь неравенством п! > (п / е)^п, вытекающим из формулы Стирлинга , получаем, что

что и утверждалось. Наилучшее время работы алгоритма сортировки сравнениями есть O(nlog n), причем эта оценка не может быть асимптотически улучшена (т.к. доказано, что нижний предел для любой сортировки сравнениями, не использующей дополнительной информации есть (nlog n)).