vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
29
2.2. Основные законы и уравнения динамики жидкости
2.2.1. Уравнение движения Эйлера
Эти уравнения можно получить из (1.27), если согласно принципу Даламбера ввести в эти уравнения силу инерции, отнесенную к единице массы.
Проекции силы инерции будут равны:
- на ось ОХ |
-1 dUx |
, |
|
||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
- на ось ОУ |
-1 dUy |
, |
(2.31) |
||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
- на ось OZ |
-1 dUz |
, |
|
||||
где 1 – единица массы. |
|
dt |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
Вводя (2.31) в (1.27), получаем |
|
|
|
||||
Фx− |
1 ∂p |
− dUx |
= 0 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
ρ ∂x |
|
|
|||||
|
|
dt |
|
|
|
||
Фy − |
1 ∂p |
− dUy |
= 0 |
|
(2.32) |
||
|
|
|
|||||
ρ ∂y |
|
||||||
|
|
dt |
|
|
|
||
Фz − |
|
1 ∂p |
− dUz |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ρ ∂z |
|
|
||||
|
|
dt |
|
|
|
||
Уравнения (2.32) носят название дифференциальных уравнений движения жидкости Эйлера.
2.2.2. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
Умножим первое уравнение (2.32) на dx, второе – на dy и третье – на dz и сложим их:
(Фxdx+Фydy +Фzdz)− |
1 |
|
|
∂p |
|
|
∂p |
|
∂p |
|
|
dUx |
|
|
dUy |
|
dUz |
|
|
(2.33) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
+ |
|
dy + |
|
|
dz |
− |
|
dx + |
|
dy + |
|
dz |
= 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ρ |
|
∂x |
|
|
∂y |
|
∂z |
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Второе слагаемое в (2.33) – это полный дифференциал и поэтому его |
|||||||||||||||||||||||||||
можно представить |
|
1 |
dP . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В третьем слагаемом сделаем следующие преобразования |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
dx =Uxdt ; |
|
|
|
|
|
|
|
dy =Uydt ; |
|
|
|
dz =Uzdt ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dUx |
Uxdt + |
|
dUy |
Uydt |
+ |
dUz |
Uzdt |
= |
dUx2 |
+ |
dUy2 |
+ |
dUz |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
dt |
|
dt |
|
dt |
|
2 |
2 |
2 |
= |
|
|
(2.34) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
d(Ux2 |
+Uy2 +Uz2 ) |
= |
dU |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим (2.34) в (2.33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фxdx+Фydy +Фzdz − dp − |
dU 2 |
= 0 . |
|
|
|
|
(2.35) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим установившееся движение элементарной струйки идеальной жидкости, на которую действует только сила тяжести. Для этих условий
Фх=0; Фу=0; Фz=-g.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
30
− gdz − dp |
− |
dU 2 |
= 0 . |
(2.36) |
|
||||
ρ |
2 |
|
|
|
Это выражение называется уравнением Бернулли в дифференциальной форме для элементарной струйки идеальной жидкости.
Интегрируя (2.36), получаем:
gz + |
p |
+ U 2 |
= const . |
(2.37) |
|
g |
|||||
|
2 |
|
|
Уравнение (2.37) называется уравнением Бернулли (интегральной формой) для элементарной струйки идеальной жидкости
2.2.3. Геометрический и физический (энергетический) смысл уравнения Бернулли
Выясним сначала физический смысл величин, входящих в уравнение Бернулли. Любое правильное физическое соотношение размерностно однородно, т.е. все его члены имеют одинаковую размерность, поэтому достаточно рассмотреть один из его членов. Наиболее удобно обратиться к третьему – U2/2. Эта величина выражается в м2/с2. Умножим и разделим числитель и знаменатель на кг, что дает:
Из чего следует, что каждый член уравнения выражает энергию, отнесенную к единице массы, т.е. удельную энергию. Это позволяет придать уравнению Бернулли энергетический смысл. Первые два члена выражают удельную потенциальную энергию (положения – gZ и давления – p/ρ), а третий – удельную кинетическую энергию. Следовательно, полная удельная энергия в любом сечении струйки остается неизменной. Другими словами, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии в ее простейшей форме - форме сохранения механической энергии.
Рассмотрим элементарную струйку движущейся жидкости.
Для двух произвольных поперечных сечений струйки можно записать
gZ1 + |
p |
+ |
U |
2 |
= Z1 g + |
p |
2 |
+ |
U |
2 |
2 |
. |
(2.38) |
||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
ρ |
2 |
|
ρ |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Разделив обе части уравнения (2.38) на ускорение свободного падения, получаем
Z1 + |
p |
+ |
U |
1 |
2 |
= Z1 + |
p |
2 |
+ |
U |
2 |
2 |
. |
(2.39) |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ρg |
|
2g |
ρg |
|
2g |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
31
Каждый член (2.39) имеет линейную размерность и выражает напор, под которым в общем случае понимают высоту столба жидкости, уравновешивающую давление в данной точке. Таким образом, Z – геометрический напор, характеризующий положение жидкой частицы над какой-то произвольной плоскостью, называемой плоскостью отсчета; p/ρg - пьезометрический напор - высота столба жидкости, уравновешивающая давление в данной точке; U2/2g - скоростной напор, представляющий собой высоту столба жидкости в так называемой трубке полного напора (трубке Пито). Принцип действия этого устройства легко уясняется из рис.
|
Сумма двух первых членов носит |
на- |
звание гидростатического напора, а трех |
- |
полного либо гидродинамического напо- |
по- |
ра. Таким образом, уравнению Бернулли |
|
придается геометрическое толкование, |
ко- |
торое сводится к следующему. Сумма |
трех |
высот: геометрической (Z), пьезометри- |
чес- |
кой (p/ρg) и скоростной (U2/2g) есть ве- |
ли- |
чина постоянная вдоль струйки. Либо, |
что то же самое, полный либо гидродинамический напор при движении вдоль струйки остается неизменным. Сказанное иллюстрируется следующий рис., который иногда называют диаграммой уравнения Бернулли.
На рис. N-N- напорная линия; 0-0 - плоскость (линия) отсчета; Р-Р - пьезометрическая линия, лежащая ниже напорной на величину скоростного напора в данном сечении.