vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
22
dP1z = p1dω1 cos(dP1 , z) = p1dω = ρgh1dω
(1.70)
dP2z = p2 dω2 cos(dP2 , z) = p2 dω = ρgh2 dω
Результирующая получится после интегрирования и суммирования:
P = ∫p1dω − ∫p2 dω = ρg(∫h1dω − ∫h2 dω) = ρg(V1 −V2 ) = −ρgV |
(1.71) |
где V1 и V2 – объемы призм, имеющих в качестве верхнего основания проекцию тела на координатную плоскость XOY, в качестве нижнего основания – верхнюю и нижнюю поверхности тела ABCD; V – объем тела.
Суммы проекций сил давления на оси Х и У должны быть равны 0, так как жидкость и тело находятся в покое.
Таким образом, из (1.71) следует, что всякое тело погруженное в жидкость теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная телом жидкость:
R = GT − P =V (γT −γ) =Vg (ρT − ρ) |
(1.72) |
Очевидно, что если ρт > ρ тело будет погружаться до дна. Если ρт< ρ тело будет выплывать до тех пор, пока вес тела и вес жидкости, вытесненной погруженной частью тела, не станут одинаковыми. После чего тело будет плавать на поверхности жидкости. При ρт= ρ тело будет плавать внутри жидкости на любой глубине.
2.ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНЫХ И РЕАЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
2.1.Кинематика потенциальных и вихревых потоков
2.1.1. Гидромеханика упругой невязкой жидкости
Кинематика – раздел гидромеханики, рассматривающий движение жидкости без рассмотрения причин вызывающих это движение.
Существует два метода изучения движения жидкости в пространстве: метод Лагранжа и метод Эйлера.
По методу Лагранжа прослеживается движение отдельных частиц жидкости. Так, если в начальный момент времени t0 жидкая частица имела координаты x0;y0;z0, то в момент времени t координаты этой частицы можно определить по зависимости:
X=f1(x0; y0; z0; t)
Y=f2(x0; y0; z0; t) (2.1)
Z=f3(x0; y0; z0; t)
Переменные x0; y0; z0; t называются переменными Лагранжа. Зависимости (2.1) описывают траектории движения частицы жидкости. Зная закон дви-
жения жидкости частицы (т.е. f1, f2, f3) можно найти проекции скорости U и ускорения a на координатные оси:
Ux = |
∂x |
Uy = |
∂y |
Uz = |
∂z |
|
∂t |
|
∂t |
|
∂t |
(2.2)
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
23
a |
x |
= |
∂2 x |
a |
y |
= |
∂2 y |
a |
z |
= |
∂2 z |
||||
∂t |
2 |
∂t |
2 |
∂t |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
По предложению Эйлера движение жидкости в любой момент времени t характеризуется полем скоростей. При этом скорости во всех точках и давление
внутри жидкости определяются в виде |
|
||
r |
r |
|
|
Ux = |
f1 |
(x; y; z;t) |
|
r |
r |
(x; y; z;t) |
|
Uy = |
f |
|
|
r |
r2 |
|
(2.3) |
Uz =r |
f3 (x; y; z;t) |
||
p = f4 |
(x; y; z;t) |
|
|
где Ux; Uy; Uz – составляющие полной скорости, обычно называемые перемен-
ными Эйлера.
В соответствии с правилом дифференцирования сложных функций проекции ускорений элементарных объемов среды в этой системе координат будут следующими:
ax = dUdtx = ∂∂Uxx dxdt + ∂∂Uyx dydt + ∂∂Uzx dzdt + ∂U∂tx ; ay = dUdty = ∂∂Uxy dxdt + ∂∂Uyy dydt + ∂U∂zy dzdt + ∂U∂ty ; az = dUdtz = ∂∂Uxz dxdt + ∂∂Uyz dydt + ∂∂Uzz dzdt + ∂U∂tz ;
Зная, что dx / dt =U x , dy / dt =U y , |
|
|
|
dz / dt =U z являются проекциями скорости в |
||||||||||||||||||||
определенный момент времени, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ax = |
∂U x |
|
U x + |
∂U x |
U y + |
|
|
∂U x |
U z + |
|
∂U x |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
∂t |
|
|||||||||||||
ay = |
∂U y |
U y + |
∂U y |
U x + |
∂U y |
U z + |
∂U y |
; |
(2.4) |
|||||||||||||||
|
|
∂y |
∂x |
|
|
|
∂z |
|
|
∂t |
|
|||||||||||||
az = |
|
∂U z |
U z + |
|
∂U z |
U y + |
|
∂U z |
U x + |
∂U z |
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
∂z |
∂y |
|
|
|
∂x |
|
|
∂t |
|
|||||||||||||
В гидромеханике рассматривается кинематический смысл каждого сла- |
||||||||||||||||||||||||
гаемого в правой части системы уравнений (2.4). |
|
|||||||||||||||||||||||
Последние слагаемые dU x / dt , |
dU y / dt , |
dU z / dt |
представляют собой проекции |
|||||||||||||||||||||
локальных ускорений, и выражают изменения скоростей движения частицы во времени при фиксированных координатах. Первые три слагаемых представляют собой проекции конвективных ускорений, которые образуются за счет изменения координат частиц, соответствующих ее передвижению (конвекции).
Анализируя уравнения (2.4), можно сделать вывод, что первые три частные производные физически представляют собой изменение скорости вдоль той оси, на которую они проектируются. Если они параллельны оси, например трубы или канала, то являются продольными, а движение при этом – поступательное. Проекции частных производных скорости на другие оси характеризуют изменение скорости перпендикулярно основному направлению и обуславливают вращение частиц жидкости (т.е. в определенных условиях движение может быть вращательным) и деформацию объема движущейся частицы.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
24
Таким образом, элементарный объем жидкости совершает три вида дви-
жения: поступательное, вращательное и деформационное. Влияние деформа-
ций элементарного объема в практических задачах несущественно, поэтому в гидравлике рассматривают в основном два вида движения - поступательное и вращательное (вихревое).
С поступательным движением мы сталкиваемся всегда, когда рассматриваем движение в трубах, каналах, струях. Поступательному движению жидкости часто сопутствует вихревое движение. Перемещающиеся вихри наблюдаются позади какого-либо тела, движущегося в жидкости, и имеет вид колец, например, дыма или пара, выходящих из труб. В природе они часто встречаются в виде смерчей. Изучение перемещающихся вихрей имеет большое значение при конструировании и исследовании лопастных машин, самолетов, при транспортировании твердых тел жидкостью. В дальнейшем будет уделено основное внимание поступательному движению без вихрей.
2.1.2. Струйная модель жидкости
Для исследования и расчетов продольного движения жидкости используется струйная модель жидкости. Элементами этой модели являются: линия тока, трубки тока, элементарные струйки.
Линия тока – это линия, в каждой точке которой в данный момент врем е- ни вектор скорости жидкости совпадает с касательной к этой линии. В установившемся движении линия тока является траекторией движения частицы жидкости.
Ua Ub
B
U
Трубка тока – это поверхность, образованная линиями тока, проведенными в данный момент времени через все точки бесконечно малого замкнутого контура, нормального к линиям тока
Элементарная структура – это часть движущейся жидкости, ограниченная трубкой тока.
Свойства элементарной струйки:
1.Частицы жидкости не выходят из струйки и не входят в нее через боковую поверхность.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
25
2.Скорости частиц во всех точках одного и того же поперечного сечения струйки одинаковы.
3.При установившемся движении форма струйки остается неизменной во времени.
1.2.3. Виды движения жидкости
Характерными параметрами движения жидкости являются: давление, скорость и ускорение, которые в общем случае зависят от положения материальных точек в пространстве (т.е. координат) и времени.
Движение, при котором скорость, давление и другие параметры зависят только от координат пространства, а во времени остаются постоянными, назы-
ваются установившимися или стационарными.
U = f (x, y, z) . |
(2.5) |
Более общий вид движения, определяющийся выражением (2.3), когда параметры движения зависят также и от времени, называется неустановившим-
ся или нестационарным.
В зависимости от характера изменения скорости по длине потока установившееся движение жидкости может быть:
•равномерным – скорость по длине постоянна;
•неравномерным – скорость по длине изменяется по величине и (или) направлению.
Неравномерное движение в свою очередь делится на:
- плавно изменяющееся (не происходит отрыва потока от направляющих
U2
U1
U1
U2
стенок);
-резко изменяющееся (происходит отрыв потока от направляющих стенок
собразованием вихревых течений)
U1
U2
Водовороты
II.В зависимости от давления на поверхностях, ограничивающих поток жидкости, движение бывает:
•напорное (движение в трубах) – поток со всех сторон ограничен стенками;