vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
40
hдл = f (Re,∆) L V 2 . d 2g
Функция f (Re,∆
d) = λ называется коэффициентом Дарси, см. форму-
лу (3. ).
2.4.Взаимодействие тел с потоком жидкости
2.4.1.Гидравлическое уравнение количества движения
Возьмем поток произвольной формы (см. рис.), наметим два живых сечения 1—1 и 2—2, покажем произвольную ось х. Поставим себе цель привести известную из теоретической механики теорему о количестве движения материальных точек к виду, удобному для расчета установившегося плавно изменяющегося движения жидкости. Будем считать, что распределения скоростей и в сечениях 1—1 и 2—2 примерно одинаковы, а поэтому можно счи-
тать, что
α01=α02=α0.
(2.71)
Напомним, что упомянутая теорема читается так: проекция на произвольно намеченную ось х приращения количества движения δ (КД) движущегося тела равна сумме проекций на ось х импульсов внешних сил (ИС), действующих на тело, за соответствующий промежуток времени. Данную теорему условно можно написать в виде:
δ(КД)x = Σ(ИС)x . |
(2.72) |
Применим эту теорему к отсеку жидкости АВ, заключенному в начальный момент времени между сечениями 1—1 и 2 —2 и перемещающемуся за время dt в положение А’В’.
Приращение количества движения [δ (КД)] тела АВ. Обозначим эле-
ментарные объемы, заштрихованные на чертеже, соответственно через δV1 и δV2. Очевидно,
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
|
41 |
δ(КД) = КД(А`В`) – КД(АВ)=КД(А`В+ВВ`) – КД(АА` + А`В)= |
|
КД(δV2) – КД(δV1). |
(2.73) |
Известно, что количество движения (КД) тела равно |
|
КД = массе тела × скорость тела. |
|
Имея это в виду, найдем количества движения объемов жидкости δV1 |
|
и δV2, т. е. величины КД (δV1) и КД (δV2). Масса жидкости в объеме δV1 есть та |
|
масса жидкости, которая за время dt проходит через сечение 1—1: |
|
масса (δV1) = ρQdt |
(2.74) |
Если бы все жидкие частицы этой массы проходили через живое сечение |
|
1—1 с одинаковой скоростью υ1, то количество движения КД (δV1) выразилось |
|
бы в виде: |
|
[КД(δV1)]ср = (ρQdt) υ1 . |
(2.75) |
Так как в различных точках сечения 1—1 в действительности имеем раз- |
|
ные скорости u, искомое количество движения должно записаться в виде: |
|
КД(δV1) = α0[КД(δV1)]ch= α0ρQ υ1 dt , |
(2.76) |
где υ1 — средняя скорость в живом сечении 1—1. |
|
Для величины КД (δV2) аналогично (2.76) можем написать: |
|
КД(δV2) = α0ρQ υ2 dt, |
(2.77) |
где υ2 — средняя скорость в живом сечении 2—2. |
|
Подставив (2.76) и (2.77) в (2.73) и заменив υ1 и υ2 |
проекциями этих век- |
торов на ось х, т. е. величинами υ1x и υ2x получаем: |
|
δ(КД)x = α0ρQ(υ2x - υ1x)dt. |
(2.78) |
Импульсы сил (ИС), приложенных к телу АВ. Известно, что импульс силы |
|
ИС = силе × время. |
|
Рассмотрим все внешние силы, действующие на жидкое тело АВ при пе- |
|
ремещении его в положение А’В’. |
|
Сила собственного веса тела АВ. Обозначим эту силу через G и ее проек- |
|
цию на ось х через Gx. Проекция импульса этой силы равна |
|
Gx dt . |
(2.79) |
Сила внешнего трения Т0, приложенного к боковой поверхности жидкого |
|
тела АВ со стороны боковых стенок, ограничивающих это тело. Проекция им- |
|
пульса этой силы равна |
|
(T0)x dt, |
(2.80) |
где (T0)x – проекция данной силы на ось x. |
|
Сила реакции боковых стенок, ограничивающих жидкое тело АВ (без учета сил трения, рассмотренных выше). Проекция импульса этой силы равна
Rx dti |
(2.81) |
где Rx – реакция данной силы на ось x.
Сила гидродинамического давления, действующего на торцовые сечения жидкого тела АВ (на сечения 1—1 и 2—2) со стороны остальной жидкости (см.
на чертеже силы Р1 и Р2). Проекция импульса этих двух сил |
|
(P1x + P2x )dt = Px dt , |
(2.82) |
где Рx — сумма проекций на ось х указанных двух сил.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
42
Гидравлическое уравнение количества движения. Подставляя в (2.72) вы-
ражения (2.78)—(2.82) и деля полученный результат на dt, искомое уравнение получаем в виде
α0 ρQ(υ2x −υ1x )= Gx + (T0 )x + Rx + Px , |
(2.83) |
где ρQ — масса жидкости, проходящая в единицу времени (в секунду) через любое живое сечение потока, ρQ= const (вдоль потока); α0ρQ υ — количество движения указанной массы в данном плоском живом сечении, к которому относится скорость υ; величина α0ρQ υ может быть названа секундным количеством движения потока (эта величина представляет собой как бы расход количества движения). Размерность секундного количества движения потока — размерность силы.
Гидравлическое уравнение количества движения (2.83) можно прочесть так: при переходе от плоского живого сечения 1—1 к плоскому живому сечению 2—2 проекция (на какую-либо ось) секундного количества движения потока изменяется на величину, равную сумме проекций на ту же ось всех четырех внешних сил (G, T0, R, P), действующих на отсек потока, заключенный между сечениями 1—1 и 2—2.
2.4.2. Сила действия движущейся жидкости на твердые тела
Рассмотрим случай, когда струя выходящая из круглоцилиндрического насадка А, ударяется о плоскую стенку В, расположенную нормально к ней.
При достаточно больших скоростях истечения жидкости, получаем, так называемую, осесимметричную задачу растекания потока по стенке В. Живое сечение 2-2 имеет круглоцилиндрическую форму, чтобы найти давление струи на стенку В, намечаем ось Х и выделяем сечениями 1-1 и 2 -2 отсек жидкости, к которому применяем уравнение (2.83).
Проекция секундного количества движения на ось ОХ
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
α0 ρQ[(υ2 )х − (υ1 )х ]=α0 ρQ[0 − (υ1 )х ]≈ −ρQυ1 . |
43 |
(2.84) |
Проекция действующих сил
Gx = 0; (P1)x = P1 = 0; (P2)x = 0; Px = (P1)x + (P2)x = 0; (To)x ≈ 0;
Rx = R = - Po. |
|
Таким образом, получаем |
|
Po =ρQυ1 |
(2.85) |
Если преграда в направлении оси Х движется со скоростью и, то (2.85) |
|
примет вид |
|
Po =ρQ(υ1 – и), |
|
а мощность, передаваемая струей преграде, |
|
N = ρQ(υ1 −u)u . |
(2.86) |
При разрушении массива грунта или полезного ископаемого струей воды, если поверхность забоя перпендикулярна ее оси, а скорость движения его груди u<<υ1, то разрушающее усилие определяется по формуле (2.85). С разрушением забоя его поверхность приобретает случайную форму, т.е. может оказаться не плоской, а потому разрушающее усилие будет изменяться (увеличиваться или уменьшаться соответственно форме) и должно вычисляться по выражению
Po =ρQυ1(1 – cos α). |
(2.87) |
2.4.3. Гидравлическая крупность
Пусть частица породы падает в покоящейся жидкости или в газе, находясь под действием трех сил: силы веса частицы, равной ρ0gW (где ρ0 — плотность материала частицы; W — ее объем), выталкивающей (архимедовой) силы ρgW (ρ — плотность жидкости) и силы сопротивления движению, определяемой по формуле
R = CR ρFV 2 , |
(2.88) |
где V – скорость движения частицы; F - площадь проекции частицы на плоскость, перпендикулярную вектору скорости;CR – коэффициент сопротивления, зависящий от режима течения.
Уравнение движения частицы со скоростью V будет
ρ W dV |
=W (ρ − ρ |
)g −C |
ρFV 2 |
(2.89) |
|
0 |
dt |
0 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (2.89) следует, что при достаточно большом промежутке времени, когда производная становится равной нулю, частица начинает опускаться равномерно со скоростью
V = |
g W (ρ0 − ρ) |
. |
(2.90) |
CR F ρ |
Из-за большого сопротивления скорость равномерного движения тела в жидкости достигается за сотые доли секунды. Поэтому, можно говорить лишь о