vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
26
•безнапорное (движение в каналах) – поток имеет свободную поверхность, заполненную газом;
•струйное (струя из насадки) – поток жидкости ограниченный поверхностями разрыва скоростей.
1.2.4. Гидравлические элементы потока
Поток движущейся жидкости рассматривается как совокупность элементарных струек.
Потоки жидкости в общем случае являются трехмерными (объемными). Более простыми являются двухмерные плоские потоки и одномерные осевые. В гидравлике преимущественно рассматриваются одномерные потоки.
Живое сечение ω (м2) – поверхность в пределах потока нормальная в каждой своей точке к проходящей через нее линии тока. При равномерном или плавно изменяющемся движении, живое сечение является плоским и равно площади поперечного сечения потока.
Смоченный периметр χ (м) – длина контура живого сечения по твердым стенкам русла. Для круглого сечения χ = πd.
Гидравлический радиус R (м) – отношение площади живого сечения к смоченному периметру.
R = ω/χ. |
(2.6) |
|
Для круглого сечения |
|
|
R = (πd2)/(4πd) = d/4. |
(2.7) |
|
Объем жидкости W, проходящей через живое сечение в единицу времени t, |
||
называют объемным расходом |
(м3/с). |
|
Q = W/t |
(2.8) |
|
Различают еще массовый расход, который связан с объемным выражением |
||
Qm = ρQ |
(кг/с) |
(2.9) |
Скорость жидкости в точке u является отношением расхода элементарной струйки dQ, проходящей через данную точку, к живому сечению струйки
dω |
|
u = dQ/dω (м/с). |
(2.10) |
Для потока жидкости скорости частиц по живому сечению различны. В этом случае скорость жидкости усредняют, и все задачи решают относительно
средней скорости: |
|
(2.11) |
Q = ∫dQ = ∫u dω =υω, |
||
ω |
ω |
|
где υ - средняя скорость потока, равная Q/ω.
1.2.5. Уравнение неразрывности и постоянства расхода жидкости
Уравнение неразрывности является математическим выражением закона сохранения массы и принципа непрерывности в гидромеханике.
Выделим в области, занятой движущейся жидкостью неподвижный бесконечно малый параллелепипед, у которого ребра dx;dy;dz параллельны соот-
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
27
ветствующим осям координат. Допустим, что через три грани параллелепипеда жидкость входит в него, а через другие – выходит.
Масса жидкости, входящей в грань АВКЕ за время dt равна:
ρUxdtdydz,
а выходящей через грань DCGH
ρU x + ∂∂x (ρU x )dx dtdydz
Аналогично через грани ADHE входит
ρUydtdxdz,
а через грань BCGK выходит
ρU y + ∂∂y (ρU y )dy dtdxdz .
Аналогично через грань ABCD входит масса жидкости
ρUzdtdxdy,
а через грань EKGH выходит
ρU z + ∂∂z (ρU z )dz dtdxdz
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Количество жидкости, накапливающейся в параллелепипеде, будет равно разнице между входящими и выходящими массами через соответствующие грани:
в направлении OX
|
|
∂ |
|
∂ |
|
(2.18) |
|
|
ρU x + |
|
(ρU x )dx dtdydz − ρU x dtdydz = |
|
(ρU x )dtdxdydz; |
||
∂x |
∂x |
||||||
|
|
|
|
|
в направлении OY
|
∂ |
(ρU y )dtdxdydz |
(2.19) |
|
∂y |
||
|
|
|
|
в направлении OZ |
|
|
|
|
∂ |
(ρU z )dtdxdydz |
(2.20) |
|
∂z |
||
|
|
|
|
Складывая (2.18) – (2.20) найдем общее количество жидкости, накапливающееся в параллелепипеде за время dt:
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
28
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
|
(ρU x ) + |
|
(ρU y ) + |
|
(ρU z ) dtdxdydz . |
(2.21) |
|
∂x |
∂y |
∂t |
||||||
|
|
|
|
|
Изменение массы жидкости в объеме параллелепипеда возможно только в связи с изменением плотности жидкости, т. е.
ρdxdydz −(ρ + |
∂ρ |
dt)dxdydz = − |
∂ρ |
dxdydzdt |
(2.22) |
|
|
||||
|
∂t |
∂t |
|
||
Приравнивая (3.21) и (3.22) получаем:
∂∂x (ρU x ) + ∂∂y (ρU y ) + ∂∂z (ρU z ) = − ∂∂ρt ,
или
∂ρ |
+ |
∂ |
(ρU x ) + |
∂ |
(ρU y ) + |
∂ |
(ρU z ) = 0 . |
(2.23) |
|
∂t |
∂x |
∂y |
∂z |
||||||
|
|
|
|
|
Уравнение (2.23) является дифференциальным уравнением неразрывности движения жидкости при переменной плотности.
Для несжимаемой жидкости (ρ=const) уравнение неразрывности будет иметь вид:
|
∂U |
x |
|
+ |
|
∂U y |
+ |
∂U |
z |
|
= 0 . |
|
|
|
(2.24) |
||||||
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если движение установившееся, то |
|
∂ρ |
|
|
= 0 и из (3.23) получаем |
|
|||||||||||||||
|
∂t |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂(ρU |
x |
) |
+ |
∂(ρU y ) |
+ |
∂(ρU |
z |
) |
= 0 . |
(2.25) |
||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для установившегося плоского течения уравнение (2.25) примет вид:
|
∂U |
x |
+ |
∂U y |
= 0 . |
(2.26) |
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Для установившегося одномерного потока из (2.25) получаем: |
|
||||||
|
∂U x |
|
= 0 . |
|
(2.27) |
||
|
∂x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножая уравнение (2.27) на ωdx и интегрируя, получаем:
Q = ω∫ |
∂U x |
dx = |
ω∫dU x . |
(2.28) |
|
||||
|
∂x |
|
|
|
Интеграл ∫dU x дает постоянную в потоке среднюю скорость, которую мы |
||||
обозначаем V. Отсюда |
|
(2.29) |
||
Q = ω∫dU = ωV |
|
|||
Уравнение (2.29) представляет собой гидравлическое уравнение постоянства расходов. Это уравнение показывает, что при установившемся движении, несмотря на изменение средних скоростей и площадей живых сечений по длине потока, расход в нем остается постоянным.
Из уравнения (2.29) вытекает следующая зависимость
V1 |
= |
ω2 |
(2.30) |
|
V |
2 |
|
ω |
|
|
|
1 |
|
|
т. е. средние скорости обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений.