vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

13

Разделим (1.26) на dy, dz и приведем подобные:

ρ Фхdx + p − 12 ∂dxp dx − p − 12 ∂dxp dx = 0,

ρ Фхdx − ∂dxp dx = 0.

Рассуждая аналогично и рассматривая равновесие всех сил на оси OY и OZ, получим уравнения равновесия для покоящейся жидкости (уравнения Эйлера):

Фх − ρ1 ∂dxp = 0

Фz − ρ1 ∂dzp = 0

1.2.4Интегрирование уравнения Эйлера

Умножая первое уравнение (1.27) на dx, второе на dy,третье на dz и складывая их, получим:

Выражение вскопках является полным дифференциалом функции р, поэтому можно написать:

Если жидкость однородна и несжимаема, то ρ =const и правая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции П, называемой потенциальной энергией массовых сил:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

14

1.2.5. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим жидкость, заключенную в неподвижном сосуде и находящуюся в поле действия силы тяжести. Примем Oz –направлена вверх.

Φx=0; Φy=0; Φz=-g.

Подставим эти данные (1.28) dp=-ρgdz.

Проинтегрируем это выражение в пределах: от р0 до р и от z0 до z при ус-

ловии ρ=const

жающей среды (внешнее давление); ρgh - давление, которое оказывает столб жидкости высотой h.

Выражение (1.30) называется «основное уравнение гидростатики». Оно выражает зависимость давления р в данной точке покоящейся жидкости от рода жидкости ρ, расстояния этой точки от свободной поверхности h и давления на свободной поверхности ро.

Следствия:

1.В покоящейся однородной жидкости любая горизонтальная плоскость является плоскостью равного давления.

2.Внешнее давление, оказываемое на жидкость, заключенную в замкнутом сосуде, передается ею во все точки без изменения (принцип Паскаля). На нем основано действие гидравлических прессов, домкратов и т.д.

1.2.6.Виды и способы измерения гидростатического давле-

ния

Гидростатическое давление можно измерить относительно абсолютного нуля и тогда такое давление будет именоваться абсолютным, и относительно

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

15

другого какого-либо давления и тогда оно будет называться относительным. Абсолютный нуль давления возможен, если объем (пространство) вообще лишено какого-либо вещества, например, полный вакуум в космическом пространстве, либо при полной остановке движения молекул (при абсолютном нуле температуры).

На поверхности земли относительно абсолютного нуля давления измеряется преимущественно только атмосферное давление и для этого используются различные барометры (жидкостные, механические). Все остальные способы измерения гидростатического давления осуществляются относительно атмосферного давления.

Допустим, что на свободную поверхность жидкости действует атмосфер-

называется вакуумом. Вакуум – это недостаток давления в данной точке

до атмосферного. Величина вакуума изменяется в пределах 0 < pв< pa . Соотношение между абсолютным, манометрическим и вакуумметриче-

ским давлениями иллюстрирует следующая схема.

1.2.7Пьезометрическая высота

1.Рассмотрим закрытый резервуар не полностью заполненный жидкостью давление, на свободной поверхности которого больше атмосферного. Подключим к т. А тонкую открытую стеклянную трубку – пьезометр. Благодаря действию давления в т. А жидкость в трубке поднимется на некоторую

высоту hизб. Со стороны жидкости в сосуде давление в т. А равно рА.

Со стороны жидкости в трубке давление в т. А равно

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

17

где r – радиус-вектор площадки dω относительно центра приведения системы сил.

Рассмотрим несколько частных случаев.

Случай 1. Равномерное давление действует на плоскую стенку (например: действие капельной жидкости на горизонтальное дно или действие покоящегося газа на стенки сосуда).

В этом случае p = const, n = const и из (1.44) имеем

Величина силы Р при равномерном распределении давления не зависит от ориентации плоской стенки ω в пространстве и вычисляется по формуле:

Например, для всех резервуаров, представленных на схеме, давление на дне будет равно p = p0+ρgh, а сила

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

18

т.е. сила давления на дно не зависит от формы сосуда (гидростатический парадокс).

Случай 2. Сила равномерного давления на криволинейную стенку (p = const; n ≠ const ). Например, действие покоящегося газа на криволинейные стенки сосуда:

В этом случае элементарные силы dP имеют разные направления. Главный P вектор системы вычисляется через свои проекции. Чтобы найти его про-

екции, например Рх, проектируем на ось Х векторы r

dP = pndω

ωωx

Из (1.40) следует, что линия действия Рх проходит через центр тяжести площади проекции ωх.

S

Если три проекции на три взаимно ортогональные оси пересекаются в од-

ной точке, то система сил dP может быть сведена только к силе давления, величина которого равна:

или наклоненную стенку.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

20

Интеграл ∫ydω представляет собой статический момент площади ω отно-

ω

сительно оси ОХ, равный, как известно, произведению ω на координату yc ее центра тяжести. Поэтому

где hc – глубина заглубления центра тяжести площадки ω; рс – гидростатическое давление в центре тяжести площадки ω.

Согласно (1.60) величина силы гидростатического давления на плоскую стенку равна произведению площади стенки на давление в ее центре тяжести.

Точка D пересечения линии действия силы Р с плоскостью рассматриваемой фигуры называется центром давления. Для отыскания координат этой точки (Xd;Yd) используем теорему о равенстве момента равнодействующей и суммы моментов составляющих, которая в данном случае выражается уравнением:

s

где rd и r – радиус – векторы соответственно центра давления D и произвольной точки m (x;y) площади ω.

Откуда

случае, вычисляется через свои проекции.

Допустим, надо определить силу гидростатического давления на криво-

лу гидростатического давления на эту площадку dP на составляющие dPx и dPz.