Теоремы операторного метода

1) теорема об однозначном соответствии: f(t) _=^ F(p) и F(p) _=^ f(t);

2) теорема о линейности: f(t) _=^ F(p)  af(t) _=^ aF(p);

3) теорема о сумме: a_if_i(t) _=^ a_iF_i(p);

4) теорема запаздывания: f(t – t₀) _=^ ;

5) теорема смещения параметра: f(t – ) _=^ ;

6) теорема о свертке: если f(t) _=^ F(p) и g(t)  _=^ G(p), то

 _=^  ;

7) предельные соотношения принужденных составляющих:

7.1) ;

7.2) .

Ключевые теоремы

8) теорема о производной: f(t) _=^ F(p)   _=^ pF(p) – f(0);

9) теорема об интеграле:  _=^  ,

они алгебраизируют систему дифференциальных уравнений.

Некоторые типовые преобразования Лапласа

В справочниках табулировано большое число функций и их изменений.

8.3.2 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Рис. 8.25

Рассмотрим цепь (рис. 8.25). Второй закон Кирхгофа во временной области (для оригиналов): . (8.29) К уравнению (8.29) применим преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений: . (8.30)

Каждое слагаемое уравнения (8.30) заменим операторным изображением:

, (8.31)

где  – операторное сопротивление;

 – операторная ЭДС, учитывающая ненулевой запас энергии магнитного поля W_м в индуктивности (по току i_L(0));

 – операторная ЭДС, учитывающая ненулевой запас энергии электрического поля W_эл в емкости (по напряжению u_C(0)/р).

При нулевых начальных условиях (аналогично цепям постоянного тока).

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю . Применим преобразование Лапласа к этому уравнению и воспользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений

. (8.32)

Уравнение (8.32) выражает собой первый закон Кирхгофа в операторной форме, аналогично выражению для цепей постоянного тока.

Для любого замкнутого контура электрической цепи можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа . Применим преобразование Лапласа

. (8.33)

Уравнение (8.33) представляет собой математическую запись II закона Кирхгофа в операторной форме, уравнение (8.34) представляет собой модификацию (8.33)

. (4.34)

Аналог в цепях постоянного тока .

При нулевых начальных условиях просматривается полная аналогия с цепями постоянного тока, при ненулевых появляются отличия, заключающиеся в необходимости введения операторных ЭДС, учитывающих и отображающих ненулевой запас энергии магнитного поля W_м в индуктивности и энергии электрического поля W_эл в емкости.

Отсюда важный вывод: весь расчетный аппарат работает и при анализе переходных процессов, только в операторной форме. При этом необходимо учесть операторные ЭДС.

8.3.3 Эквивалентные операторные схемы

П ри расчете переходных процессов операторным методом удобно составить предварительно операторную схему. В каждой ветви с параметрами R, L, C должны быть при ненулевых начальных условиях учтены две дополнительные внутренние ЭДС Li(0) и u_C(0)/p. На рис. 8.26 показаны переходы от элементов с мгновенными значениями токов и напряжений к элементам операторной схемы.

Рис. 8.26