Псевдообратные матрицы
Прямоугольные матрицы не имеют детерминантов и обратных матриц. Для таких матриц по крайней мере одно из уравнений AX = I или XA = I не имеет решения. Частично данный про-бел восполняется так называемой псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза, или просто псевдообратной матрицей, которая вычисляется при помощи функции pinv. На практике необходимость в этой операции встречается довольно редко. Желающие могут всегда обра-титься к соответствующим справочным пособиям.
Степени матриц и матричные экспоненты Положительные целые степени
Если А есть некоторая квадратная матрица, а р – положительное целое число, то A^p эквива-лентно умножению A на себя р раз.
X = A^2
X =
3 6 10
6 14 25
10 25 46
Отрицательные и дробные степени
Если А является квадратной и невырожденной, то A^(-p) эквивалентно умножению inv(A) на себя p раз.
Y = B^(-3)
Y =
0.0053 -0.0068 0.0018
-0.0034 0.0001 0.0036
-0.0016 0.0070 -0.0051
Дробные степени, например A^(2/3), также допускаются; результаты при этом зависят от ра-спределения собственных значений матрицы А.
Поэлементное возведение в степень
Оператор .^ (с точкой !) осуществляет поэлементное возведение в степень. Например,
X = A.^2
A =
1 1 1
1 4 9
1 9 36
Вычисление корня квадратного из матрицы и матричной экспоненты
Для невырожденных квадратных матриц А функция sqrtm вычисляет главное значение квад-ратного корня , т.е. если X = sqrtm(A) , то X*X = A . Буква m в sqrtm означает, что выпол-няется матричная операция. Это отличает данную функцию от sqrt(A), которая, подобно A.^(1/2) (обратите внимание на точку !), выполняет операцию извленчения корня поэлемен-тно.
Система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка может быть записана в виде
dx/dt = Ax
где x = x(t) есть векторная функция от t, а A есть постоянная матрица не зависящая от t.
Решение данной системы может быть выражено в виде матричной экспоненты.
x(t) = ℮Atx(0)
Функция expm(A) вычисляет матричную экспоненту. Рассмотрим пример системы диффере-нциальных уравнений со следующей 3х3 матрицей коэффициентов
A =
0 -6 -1
6 2 -16
-5 20 -10
и начальными условиями x(0)
x0 = [ 1 1 1]’.
Использование матричной экспоненты для вычисления решения дифференциального уравне-ния в 101 точке с шагом 0.01 на интервале 0 ≤ t ≤ 1 записывается в виде
X = [ ];
for t = 0 : 0.01 : 1
X = [X expm(t*A)*x0];
end
Трехмерный график решения в фазовом пространстве может быть получен при помощи спе-циальной функции
Plot3(X(1,:), X(2,:), X(3,:), '-o')
Решение имеет вид спиральной функции сходящейся к началу координат (см. рис. ниже). Та-кое решение обусловлено комплексными собственными значениями матрицы коэффициен-тов А.
