19. Частные производные сложных функций. Полная производная.
Частные производные сложных функций нескольких переменных
Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функции f (x,y,z)) сами являются функциями от новых переменных U, V, W). Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную систему O0UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:
То есть задана сложная функцияT трех "новых" переменных U, V, W посредством трёх "старых" переменных x, y, z, тогда:
Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если
то
В частности, еслиz = f(xy), y = y(x) , то получаем так называемую формулу "полной производной":
Эта же формула "полной производной" в случае:
примет вид:
Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32). Замечание: формула "полной производной" используется в курсе физики, раздел "Гидродинамика" при выводе основополагающей системы уравнений движения жидкости. Пример 1.10. Дано:
Найти
Решение Согласно (1.31):
Ответ:
|
Полная производная функции
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории. Пусть функция имеет вид и ее аргументы зависят от времени: . Тогда , где — параметры задающие траекторию. Полная производная функции (в точке ) в таком случае равна частной производной по времени (в соответствующей точке ) и может быть вычислена по формуле:
,
где — частные производные. Следует отметить, что обозначение является условным и не имеет отношения к делению дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.
Например, полная производная функции :
Здесь нет так как сама по себе («явно») не зависит от .
20. Производные от функций заданных неявно.
Производная функции, заданной неявно
Уравнение вида , содержащее переменные и , иногда можно разрешить относительно и получить в явном виде зависимость . Например, если дано уравнение , то из него можно получить зависимость . Однако такое явное выражение через , использующее лишь элементарные функции, можно получить не из любого уравнения вида (даже если в самом уравнении участвуют лишь элементарные функции). Например, хотя уравнение
задаёт некоторую зависимость от , но выразить её из уравнения "в явном виде" не удаётся. Тем не менее, некоторую информацию об этой зависимости мы можем получить, и не выражая через . Например, в случае приведённого выше уравнения, поскольку значения , ему удовлетворяют, мы можем утверждать, что график этой зависимости проходит через точку плоскости .
Покажем, как, используя уравнение , найти производную , не выражая через в явном виде. Для этого найдём производные левой и правой части уравнения по переменной , считая промежуточным аргументом, а потом выразим из получающегося равенства.
Поясним сказанное на примере.
Пример 4.24 Возьмём то же уравнение и найдём производную левой части (производная правой части, очевидно, равна 0). Имеем:
Слагаемые, содержащие , оставим в левой части, а остальные перенесём направо:
откуда
Получили выражение для производной , содержащее, правда, не только , но и в правой части. Однако, несмотря на это, полученное выражение можно использовать для решения различных задач, связанных с производной. Например, можно решить такую задачу: найти для кривой, заданной уравнением , уравнения касательной и нормали, проведённых в точке . Действительно, при мы получаем , так что нам теперь известен угловой коэффициент касательной: . Точка касания дана условием задачи. Поэтому уравнение касательной таково:
или
а уравнение нормали -- таково:
или
21. Частные производные высших порядков
Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или , а через или . Таким образом,
,
и, аналогично,
, .
Производные и называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: , , и т. д.
22. экстремумы функций двух переменных, необходимые и достаточные условия.
Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D. Точка M0(x0;y0) - внутренняя точка области D.
Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек
то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом.
А если же для всех точек
то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом.
Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).
Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C0.
В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:
Аналогично определяется и глобальный минимум:
Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.
Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).
Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y) D. Точка M0(x0;y0 D - точка локального экстремума.
Если в этой точке существуют z'x и z'y, то
Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.
Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):
что и требовалось доказать.
Определение 1.12.
Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).
Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).
Пусть задана z =z (x,y), (x,y) D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0) D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:
Если:
Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.
Пример 1.13.
Исследовать на экстремум:
Решение
1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):
то есть найдены четыре стационарные точки. 2.
по теореме 1.4 в точке – минимум. Причём
по теореме 1.4 в точке
- максимум. Причём
23. определение двойного интеграла его геометрический смысл
Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций. Не трогать