Обозначение двойного интеграла
Геометрический смысл двойного интеграла.
Перейти к примерам решения двойных интегралов.
Для того, чтобы понять, что же представляет из себя двойной интеграл с геометрической точки зрения, давайте посмотрим на рисунок ниже. Итак, пусть в пространстве мы имеем некоторое тело (криволинейный цилиндр [в отличие от криволинейной трапеции в определенном интеграле]), ограниченное сверху поверхностью f(x,y), по бокам - некоторой цилиндрической поверхностью (образующие которой параллельны оси OZ), а снизу плоскостью X0Y. Не углубляясь особо в теорию, возьмем из нее главное: Геометрический смысл двойного интеграла: при неотрицательной функции f(x,y), двойной интеграл по области D представляет из себя объем криволинейного цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x,y).
Метки страницы: Понятие двойного интеграла; Обозначение двойного интеграла; Геометрический смысл двойного интеграла.
24. Свойства двойного интеграла его вычисление в декартовых и полярных координат.
О: Область D называется правильной в направлении оси OY (ОХ), если любая прямая, параллельная оси OY(OX) и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает ее границу в двух точках.
Рис. 23.3
Рис. 23.4
Граница области D, правильной в направлении оси OY (рис. 23.3), может быть задана уравнениями
и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле
(23.5)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл
в котором х считается постоянной. Выражение справа в (23.5) называется повторным, или двукратным интегралом.
Граница области D, правильной в направлении оси ОХ (рис. 23.4), может быть задана уравнениями:
Тогда двойной интеграл вычисляется по формуле
(23.6)
Если область D правильная в направлении ОХ и OY (правильная область), то применимы обе формулы.
Рассмотрим геометрический смысл формулы (23.5), для формулы (23.6) рассуждения аналогичные (вывод формул приведен в [6. С. 310]).
Предположим, что и граница области D является правильной в направлении оси OY.
Из разд. 23.1
Подсчитаем теперь объем V методом поперечных сечений (см. п.18.2.1):
(23.7)
Проводя через т. (х,0,0) плоскость перпендикулярно оси ОХ, получим в сечении криволинейную трапецию
(рис. 23.5), с площадью
для точек линии при постоянном х зависит только от у:
- (23.8)
площадь поперечного сечения цилиндрического тела. Подставляя (23.8) в (23.7), получаем
Рис. 23.5
Таким образом, в формуле (23.7) слева и справа имеем объем цилиндрического тела.
Формулы (23.5) и (23.6) выведены в предположении, что область имеет специальный вид.
В общем случае область D разбивают на конечное число частей, являющихся правильными, и вычисляют для каждой из частей интеграл по формуле (23.5) или (23.6). Интеграл по всей области (свойство 3°) равен сумме полученных интегралов.
Если область ГУ. то формулы (23.5) и (23.6)
примут вид
Пример:
Решение разбивается на три этапа:
1) построение области D;
2) переход к повторному интегралу, расстановка пределов интегрирован ия;
3) вычисление повторного интеграла.
Решая систему находим т. пересечения параболы
и прямой (1, 1), (-2, 4). Строим область, (-2, 4) D (рис. 23.6). Так как область правильная, то можно воспользоваться формулами (23.5) и (23.6).
При решении по (23.5) область придется разбить на две: ОВС и СВА, так как линия ОБА задается разными уравнениями:
Рис. 23.6
При вычислении по формуле (23.6) приходим к одному повторному интегралу Закончим
решение, пользуясь последней формулой: