1. Понятие множества. Подмножество. Равенство двух множеств. Объединение и пересечение множеств.

Множество – совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, образующие множество, называются элементами, или точками, этого множества. Множества обозначаются прописными буквами, элементы – строчными.

Подмножество – если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называется подмножеством множества A и обозначается B€A.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединение множеств A и B – множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. C =AUB.

Пересечение множеств A и B – множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств A и B, т.е. D=A∩B.

2. Высказывания. Логические связки и, или, если… то, тогда и только тогда…

Высказывание – предложение, о котором можно сказать истинное оно или ложное.

Отрицание - P или P с черточкой.

Логические связки:

Конъюнкция (и) PΛQ; Дизъюнкция (или) PVQ; Импликация (если… то) P→Q; Эквиваленция (тогда и только тогда) P↔Q.

3. Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные условия.

Формулировка каждой теоремы содержит условие теоремы и заключение. Поменяв местами в формулировке некоторой теоремы условие и заключение, получим формулировку теоремы, обратной данной. P→Q – прямая теорема; Q→P – обратная теорема.

.Пусть А – некоторое высказывание, т.е. утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Тогда всякое высказывание В, из которого следует А, называется достаточным условием для А, а всякое высказывание С, которое следует из А, называется необходимым условием для А. В этих случаях пишут В→А, А→С.

4. Числовая прямая. Открытые и замкнутые промежутки на прямой.

Числовая прямая – прямая, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба. Точками такой прямой изображается геометрически множество действительных чисел R.

a<x<b и a≤x≤b

5. Модуль (абсолютная величина) действительного числа. Неравенство ׀ x – a ׀ < ε .

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа X называется само число X, если X неотрицательно, и противоположное число –X, если X отрицательно:

׀ x ׀ = {x, если x≥0 ; -x, если x<0 }

Очевидно, по определению, что ׀ x ׀ ≥ 0.

НЕРАВЕНСТВО:

(Где ε>0)

Решение: точки X интервала (а – ε , а + ε), удовлетворяющие неравенству а – ε < x < а + ε

6. Множества на плоскости. Расстояние между точками плоскости. Уравнение окружности и эллипса.

Множество X называется областью определения (или существования) функции, а множество Y – областью значений функции. Если множество X специально не обговорено, то под областью определения функции подразумевается ОДЗ независимой переменной x, т.е. множество таких значений x, при которых функция y=f(x) вообще имеет смысл.

Нормальное уравнение окружности - (x-x₀)² + (y-y₀)² = R²

Если центр в начале координат(x₀=y₀=0), то уравнение - x² + y² = R²

Общее уравнение окружности - Ax² + Ay² + Dx + Ey + F = 0

Каноническое уравнение эллипса с полуосями a= √ δ / A и b= √ δ / C .