- •1. Понятие множества. Подмножество. Равенство двух множеств. Объединение и пересечение множеств.
- •2. Высказывания. Логические связки и, или, если… то, тогда и только тогда…
- •3. Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные условия.
- •4. Числовая прямая. Открытые и замкнутые промежутки на прямой.
- •7. Уравнения гиперболы и параболы.
- •8. Уравнение прямой на плоскости.
- •9. Множества в r3. Расстояние между точками в r3. Уравнение сферы. Уравнение плоскости.
- •11. Функции (отображения). Область определения и множество значений функции. График функции. Инъекция, сюръекция, биекция. Взаимно обратные функции.
- •13. Функции двух и более переменных. Понятие линий уровня для функции двух переменных.
- •14. Предел числовой последовательности. Понятие бесконечно малой. Теоремы о сумме и произведении бесконечно малых.
- •15. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- •16. Предел монотонной последовательности.
- •17. Предел функции. Определения на языке окрестностей и последовательностей.
- •18. Непрерывные функции. Теорема Вейерштрасса.
- •21. Производная. Механический и геометрический смысл производной.
- •24. Производная сложной функции.
- •25. Производная обратной функции.
- •29. Теоремы Ферма (необходимое условие экстремума) и Лагранжа.
- •30. Правило Лопиталя.
- •31. Производные высших порядков.
- •32. Признаки возрастания и убывания функции.
- •35. Выпуклость графика функции и точки перегиба. Достаточные условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.
- •36. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
- •37. Дифференциал и приращение функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала.
- •38. Частные производные и дифференциал.
- •39. Необходимый признак экстремума функции многих переменных.
- •40. Достаточный признак экстремума функции многих переменных.
- •41. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •42. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •43. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.
- •44. Свойства определенных интегралов.
- •45. Теорема о среднем для определенных интегралов.
- •47. Замена переменной в определенном интеграле.
- •48. Формула интегрирования по частям.
- •49. Вычисление площадей плоских фигур.
- •50. Вычисление объемов.
- •53. Числовые ряды. Сумма ряда. Сходимость числового ряда.
- •60. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
- •69. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •70. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •71. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
7. Уравнения гиперболы и параболы.
ПРИ δ > 0
Каноническое уравнение гиперболы x2 / a2 - y2 / b2 = 1 , где a= √ δ / A – действительная полуось, а b= √ δ / -C – мнимая полуось.
ПРИ δ = 0
Уравнение - x2 / a2 – y2 / b2 = 0, т.е. получаем пару пересекающихся прямых x / a – y / b = 0 и x / a + y / b = 0
ПРИ δ < 0
Уравнение гиперболы x2 / a2 – y2 / b2 = -1 с полуосями a = √ δ / -A и b = √ δ / C, она сопряженная с кривой из первого случая.
Если вершина параболы в вершине координат, то уравнение y2 = 2px.
8. Уравнение прямой на плоскости.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении y – y1 = k (x – x1)
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку A (3;-2), имеет вид y + 2= k (x - 3)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
Дано – M1 (x1, y1), M2 (x2, y2) и x1 ≠ x2, y1 ≠ y2.
y – y1 = y2 – y1 / x2 – x1 (x – x1) или
y – y1 / y2 – y1 = x – x1 / x2 – x1
Уравнение прямой в отрезках (через точки A (a;0) и B (0;b))
y – 0 / b – 0 = x – a / 0 – a или
x / a + y / b = 1
Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0
9. Множества в r3. Расстояние между точками в r3. Уравнение сферы. Уравнение плоскости.
Всякое уравнение первой степени с тремя переменными есть уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости – Ax + By + Cz + D = 0 (где D= - Ax0 – By0 – Cz0)
10. Множества в Rn. Расстояние между точками в Rn. Уравнение сферы в Rn. Уравнение плоскости в Rn.
11. Функции (отображения). Область определения и множество значений функции. График функции. Инъекция, сюръекция, биекция. Взаимно обратные функции.
Если каждому элементу x множества X (x принадлежит X) ставится в соответствие вполне определенный элемент y множества Y (y принадлежит Y), то говорят, что на множестве X задана функция y=f(x).
Множество X называется областью определения (или существования) функции, а множество Y – областью значений функции.
Пусть y=f(x) есть функция от независимой переменной x, определенной на множестве X с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому y (принадлежит Y) единственное значение x (принадлежит X), при котором f(x) = y. Тогда полученная функция x=φ(y), определенная на множестве Y с областью значений X, называется обратной.
Пример сюръекции: y = sin x, y = x^2 (на R) Пример инъекции: y = log x, y = x^2 (на [0; ∞) или (-∞; 0] ) Пример биекции: y = x, y = x^3, y = e^x (на R+ , т.е. [0; ∞))
13. Функции двух и более переменных. Понятие линий уровня для функции двух переменных.
Учитывая, что экономические явления и процессы обусловливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных.
Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1, x2, …. Xn) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задан функция нескольких переменных z = f (x1, …, xn).
Линия уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно C.