- •1. Понятие множества. Подмножество. Равенство двух множеств. Объединение и пересечение множеств.
- •2. Высказывания. Логические связки и, или, если… то, тогда и только тогда…
- •3. Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные условия.
- •4. Числовая прямая. Открытые и замкнутые промежутки на прямой.
- •7. Уравнения гиперболы и параболы.
- •8. Уравнение прямой на плоскости.
- •9. Множества в r3. Расстояние между точками в r3. Уравнение сферы. Уравнение плоскости.
- •11. Функции (отображения). Область определения и множество значений функции. График функции. Инъекция, сюръекция, биекция. Взаимно обратные функции.
- •13. Функции двух и более переменных. Понятие линий уровня для функции двух переменных.
- •14. Предел числовой последовательности. Понятие бесконечно малой. Теоремы о сумме и произведении бесконечно малых.
- •15. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- •16. Предел монотонной последовательности.
- •17. Предел функции. Определения на языке окрестностей и последовательностей.
- •18. Непрерывные функции. Теорема Вейерштрасса.
- •21. Производная. Механический и геометрический смысл производной.
- •24. Производная сложной функции.
- •25. Производная обратной функции.
- •29. Теоремы Ферма (необходимое условие экстремума) и Лагранжа.
- •30. Правило Лопиталя.
- •31. Производные высших порядков.
- •32. Признаки возрастания и убывания функции.
- •35. Выпуклость графика функции и точки перегиба. Достаточные условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.
- •36. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
- •37. Дифференциал и приращение функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала.
- •38. Частные производные и дифференциал.
- •39. Необходимый признак экстремума функции многих переменных.
- •40. Достаточный признак экстремума функции многих переменных.
- •41. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •42. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •43. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.
- •44. Свойства определенных интегралов.
- •45. Теорема о среднем для определенных интегралов.
- •47. Замена переменной в определенном интеграле.
- •48. Формула интегрирования по частям.
- •49. Вычисление площадей плоских фигур.
- •50. Вычисление объемов.
- •53. Числовые ряды. Сумма ряда. Сходимость числового ряда.
- •60. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
- •69. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •70. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •71. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
60. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
Совокупность тех значений x, пи которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля.
1) если степенной ряд сходится при значении x = x0 ≠ 0 (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях x таких, что |x| < |x0|.
2) если степенной ряд расходится при x = x1, то он расходится при всех значениях x таких, что |x| > |x1|.
Из теоремы следует, что существует такое число R ≥ 0, что при |x| < R ряд сходится, а при |x| > R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости.
69. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy, где x и y – действительные числа, i – мнимая единица. Число x называется действительной частью числа z и обозначается Re(z), а число y – мнимой частью числа z и обозначается Im(z), т.е. x = Re(z), y = Im(z).
Арифметические операции на множестве комплексных чисел:
Сложение (вычитание)
z1 ± z2 = x1 ± x2 + i(y1 ± y2)
Умножение
z1z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + x2y1).
Деление
z1 / z2 = (x1x2 + y1y2) + i(x2y1 – x1y2) / x22 + y22 (z2 ≠ 0).
70. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
С каждой точкой z(x, y) комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки Oz(вектор), длина которого r называетcя модулем комплексного числа z и обозначается |z| :
r = |z| = √ x2 + y2
Угол, образованный радиусом-вектором Oz(вектор) c jcm. Ox, называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z.
Представление комплексного числа в виде z = r(cosφ + isinφ) , где r = |z| ≥ 0, φ = Arg z, называется тригонометрической формой комплексного числа.
71. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
Формула возведения комплексного числа в натуральную степень n – Муавра.
[r(cosφ + isinφ)]n = rn(cosn φ + i sinn φ).
Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера eiφ = cos φ + i sinφ.
73. Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Пример: y’’ + y = 0
решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уровнений первого порядка. пример дифференциального уравнения второго порядка: y"=f(x,y)
задача Коши - задача отыскания частного решения дифференциального уравнения: y"=f(x), удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0.