- •1. Понятие множества. Подмножество. Равенство двух множеств. Объединение и пересечение множеств.
- •2. Высказывания. Логические связки и, или, если… то, тогда и только тогда…
- •3. Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные условия.
- •4. Числовая прямая. Открытые и замкнутые промежутки на прямой.
- •7. Уравнения гиперболы и параболы.
- •8. Уравнение прямой на плоскости.
- •9. Множества в r3. Расстояние между точками в r3. Уравнение сферы. Уравнение плоскости.
- •11. Функции (отображения). Область определения и множество значений функции. График функции. Инъекция, сюръекция, биекция. Взаимно обратные функции.
- •13. Функции двух и более переменных. Понятие линий уровня для функции двух переменных.
- •14. Предел числовой последовательности. Понятие бесконечно малой. Теоремы о сумме и произведении бесконечно малых.
- •15. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- •16. Предел монотонной последовательности.
- •17. Предел функции. Определения на языке окрестностей и последовательностей.
- •18. Непрерывные функции. Теорема Вейерштрасса.
- •21. Производная. Механический и геометрический смысл производной.
- •24. Производная сложной функции.
- •25. Производная обратной функции.
- •29. Теоремы Ферма (необходимое условие экстремума) и Лагранжа.
- •30. Правило Лопиталя.
- •31. Производные высших порядков.
- •32. Признаки возрастания и убывания функции.
- •35. Выпуклость графика функции и точки перегиба. Достаточные условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.
- •36. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
- •37. Дифференциал и приращение функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала.
- •38. Частные производные и дифференциал.
- •39. Необходимый признак экстремума функции многих переменных.
- •40. Достаточный признак экстремума функции многих переменных.
- •41. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •42. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •43. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.
- •44. Свойства определенных интегралов.
- •45. Теорема о среднем для определенных интегралов.
- •47. Замена переменной в определенном интеграле.
- •48. Формула интегрирования по частям.
- •49. Вычисление площадей плоских фигур.
- •50. Вычисление объемов.
- •53. Числовые ряды. Сумма ряда. Сходимость числового ряда.
- •60. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
- •69. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •70. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •71. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
39. Необходимый признак экстремума функции многих переменных.
Пусть точка (x0, y0) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z = f(x, y). Тогда частные производные f’x (x0, y0) и f’y (x0, y0) в этой точке равны нулю. ИЛИ: В точке минимума или максимума дифференцируемой функции градиент равен нулю.
40. Достаточный признак экстремума функции многих переменных.
Пусть функция z = f(x, y):
1) определена в некоторой окрестности критической точки (x0, y0), в которой f’x (x0, y0) = 0 и f’y (x0, y0) = 0;
2) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка f’’xx (x0, y0) = A; f’’xy (x0, y0) = B; f’’yy (x0, y0) C. Тогда если ∆ = AC – B2 > 0, то в точке (x0, y0) функция z = f(x, y) имеет экстремум, причем если A< 0 – максимум, если A > 0 – минимум. В случае ∆ = AC – B2 < 0, функция z = f(x, y) экстремума не имеет. Если ∆ = AC – B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
41. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Точка (x0, y0) называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (x, y) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g (x, y) = C, выполняется неравенство f(x0, y0) ≥ f (x, y) (f (x0, y0) ≤ f (x, y)).
42. Первообразная и неопределенный интеграл.
Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке x этого промежутка F’(x) = f(x).
Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается ∫ f(x)dx, где ∫ - знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение. Таким образом, ∫ f(x)dx = F(x) + C, где F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная.
43. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть предел интегральной суммы ∑ f(ξi)∆xi при стремлении max ∆xi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x1, x2,… и точек ξ1, ξ2,… Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на [a, b], обозначается ∫ f(x)dx, а сама функция y=f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b], т.е. ∫ f(x)dx = lim ∑ f (ξ1) ∆ xi.
При этом число a называется нижним пределом, число b – его верхним пределом; функция f(x) – подынтегральной функцией, выражение f(x)dx – подынтегральным выражением, а задача о нахождении f(x)dx – интегрированием функции f(x) на отрезке [a, b].
Формула:
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a, b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a, b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е. ∫ f(x)dx = F(b) – F(a).
44. Свойства определенных интегралов.
1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. ∫ αf(x)dx = α∫ f(x)dx, где α – некоторое число.
2) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. ∫ (f(x) ±g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx.
3) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c: ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx.
4) Если на отрезке [a, b] f(x) ≤ g(x), то и ∫ f(x)dx ≤ ∫ g(x)dx, т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.