45. Теорема о среднем для определенных интегралов.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] (где a < b), то найдется такое значение ξ є [a, b], что ∫ f(x)dx = f (ξ)(b-a).

Найдется такая точка ξ из отрезка [a, b], что площадь под кривой y=f(x) на [a, b] равна площади прямоугольника со сторонами f(ξ) и (b-a).

47. Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α, β], a = φ(α), b = φ(β) и функция f(x) непрерывна в каждой точке x вида x = φ(t), где t є [α, β]. Тогда справедливо следующее равенство ∫ f(x)dx = ∫ f (φ(t))φ’(t)dt.

Пусть F(x) и Ф(t) – некоторые первообразные для функций f(x) и f(φ(t))φ’(t). F(φ(t)) также является первообразной для функции f (φ(t))φ’(t), Тогда по следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число C, что Ф(t) = F(φ(t)) + C, где t є [α, β]. Поэтому Ф(β) – Ф(α) = (F(φ(β)) + C) – (F(φ(α)) + C) = F(b) – F(a). Но по формуле Ньютона-Лейбница Ф(β) – Ф(α) совпадает с правой частью формул замены переменной, а F(b) – F(a) – с левой частью этой формулы.

48. Формула интегрирования по частям.

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b]. Тогда ∫ u dv = uv| - ∫vdu, где uv| = u(b)v(b) – u(a)v(a).

Поскольку (uv)’ = u’v + uv’, то функция uv является первообразной для функции u’v + uv’. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница получаем: uv| = ∫ (u’v + uv’)dx = ∫vu’dx + ∫uv’dx, что равносильно ∫ u dv = uv| - ∫vdu, поскольку по определению дифференциала u’(x)dx = du и v’(x)dx=dv.

49. Вычисление площадей плоских фигур.

1) Пусть функция y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой y=f(x) на [a, b] численно равна определенному интегралу ∫ f(x)dx, т.е. S = ∫ f(x)dx.

2) Пусть функция y=f(x) неположительна и непрерывна на [a, b]. Если функция y=f(x) неположительна на [a, b], то площадь S над кривой y=f(x) на [a, b] отличается знаком от определенного интеграла ∫ f(x)dx.

3)

S= ∫ (f(x) – f(ξ))dx = 0

4) Пусть на отрезке [a, b] заданы непрерывные функции y=f₁(x) и y=f₂(x), такие, что f₂(x) ≥ f₁(x). Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми y = f₂(x) и y = f₁(x), на отрезке [a, b] вычисляется по формуле S = ∫ (f₂(x) – f₁(x)) dx.

50. Вычисление объемов.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная знакопостоянная функция y=f(x). Необходимо найти V_x тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b. Разобьем отрезок [a, b] на элементарные отрезки точками: a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_n = b и на каждом из отрезков разбиения [x_i-1, x_i] некоторым образом выберем точку ξ_i, где I = 1, 2, …, n. Тогда некоторое приближение для искомого объема даст следующая сумма ∑ πf²(ξ_i)∆x_i, i-е слагаемое которой (i=1, 2, …, n) – это объем цилиндра с высотой ∆x_i = x_i – x_i-1 и радиусом основания f(ξ_i). Очевидно, что приближение для искомого объема V_x будет тем лучше, чем меньше длина отрезков разбиения ∆x_i, поэтому за искомый объем V_x естественно взять следующий предел V_x = lim ∑ πf²(ξ_i)∆x_i, где max∆x_i – максимальная из длин отрезков разбиения.

Окончательная формула:

V_x = π ∫ f² (x) dx.