- •1. Понятие множества. Подмножество. Равенство двух множеств. Объединение и пересечение множеств.
- •2. Высказывания. Логические связки и, или, если… то, тогда и только тогда…
- •3. Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные условия.
- •4. Числовая прямая. Открытые и замкнутые промежутки на прямой.
- •7. Уравнения гиперболы и параболы.
- •8. Уравнение прямой на плоскости.
- •9. Множества в r3. Расстояние между точками в r3. Уравнение сферы. Уравнение плоскости.
- •11. Функции (отображения). Область определения и множество значений функции. График функции. Инъекция, сюръекция, биекция. Взаимно обратные функции.
- •13. Функции двух и более переменных. Понятие линий уровня для функции двух переменных.
- •14. Предел числовой последовательности. Понятие бесконечно малой. Теоремы о сумме и произведении бесконечно малых.
- •15. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- •16. Предел монотонной последовательности.
- •17. Предел функции. Определения на языке окрестностей и последовательностей.
- •18. Непрерывные функции. Теорема Вейерштрасса.
- •21. Производная. Механический и геометрический смысл производной.
- •24. Производная сложной функции.
- •25. Производная обратной функции.
- •29. Теоремы Ферма (необходимое условие экстремума) и Лагранжа.
- •30. Правило Лопиталя.
- •31. Производные высших порядков.
- •32. Признаки возрастания и убывания функции.
- •35. Выпуклость графика функции и точки перегиба. Достаточные условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.
- •36. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
- •37. Дифференциал и приращение функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала.
- •38. Частные производные и дифференциал.
- •39. Необходимый признак экстремума функции многих переменных.
- •40. Достаточный признак экстремума функции многих переменных.
- •41. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •42. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •43. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.
- •44. Свойства определенных интегралов.
- •45. Теорема о среднем для определенных интегралов.
- •47. Замена переменной в определенном интеграле.
- •48. Формула интегрирования по частям.
- •49. Вычисление площадей плоских фигур.
- •50. Вычисление объемов.
- •53. Числовые ряды. Сумма ряда. Сходимость числового ряда.
- •60. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
- •69. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •70. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •71. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
14. Предел числовой последовательности. Понятие бесконечно малой. Теоремы о сумме и произведении бесконечно малых.
Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число an, то говорят, что задана числовая последовательность {an} : a1, a2, …, an, … .
Число A называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N (зависящий от ε, N = N(ε)), что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство ׀ an – A ׀ < ε.
Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при x→x0, или при x→∞, если ее предел равен нулю: lim α(x) = 0.
Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при x→x0, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число δ > 0(зависящее от ε, δ = δ(ε)), что для всех x, не равных x0 и удовлетворяющих условию ׀ x- x0 ׀ < δ, будет верно неравенство ׀ α(x) ׀ < ε.
Теоремы:
Если функция f(x) имеет при x→x0 (x→∞) предел, равный A, то ее можно представить в виде суммы этого числа A и бесконечно малой α(x) при x→x0 (x→∞), т.е. f(x) = A + α(x).
Если функцию f(x) можно представить как сумму числа A и бесконечно малой α(x) при x→x0 (x→∞), то число A есть предел этой функции при x→x0 (x→∞), т.е. lim f(x) = A.
15. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. lim [f(x) + φ(x)] = A + B.
Предел произведения конечного числа функции равен произведению пределов этих функций, т.е. lim [f(x)φ(x)] = AB.
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е. lim f(x) / φ(x) = A / B (B≠0).
16. Предел монотонной последовательности.
Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) если n1n2 (n1n2): xN1xN2 (xN1xN2). Замечание: Если xN1 строго больше (меньше) xN2, тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей). Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится. Доказательство: Пусть хN ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={xN: nN}По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем: SupX=x, Е0 xE: (х-Е)хE = n0 xNo(х-E). Из монотонности имеем: nn0 xNxNo(x-E), получили xNx=SupX, значит nn0 xN(x-E,х](x-E,x+E).
17. Предел функции. Определения на языке окрестностей и последовательностей.
Число A называется пределом функции y = f(x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число S > 0 (зависящее от ε; S = S(ε)), что для всех x, таких, что ׀ x׀ > S, верно неравенство: ׀ f(x) – A ׀ < ε.
Число A называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0 (или в точке x0), если для любого даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число δ > 0(зависящее от ε, δ = δ(ε)), что для всех x, не равных x0 и удовлетворяющих условию ׀ x – x0 ׀ < δ, выполняется неравенство ׀ f(x) – A ׀ < ε.
Число A есть предел функции f(x) при x→x0, если для любого ε > 0 найдется такая δ-окрестность точки x0, что для всех x≠x0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в полосе A – ε < y < A + ε, какой бы узкой эта полоса ни была.