53. Числовые ряды. Сумма ряда. Сходимость числового ряда.

Числовой ряд – бесконечная последовательность чисел u₁, u₂, …, u_n, … соединенных знаком сложения: u₁ + u₂ + … + u_n + … = ∑ u_n.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е. lim S_n = S. Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Число S называется суммой ряда. В этом смысле можно записать u₁ + u₂ + … + u_n + … = ∑ u_n = S.

Св-ва сходящихся рядов:

1) Если ряд u₁ + u₂ + … + u_n + … сходится и имеет сумму S, то и ряд λu₁ + λu₂ + … + λu_n + … (полученный умножением данного ряда на число λ) также сходится и имеет сумму λS.

2) Если ряды u₁ + u₂ + … + u_n + … и v₁ + v₂ + … + v_n + … сходятся и их суммы соответственно равны S₁ и S₂, то и ряд (u₁ + v₁) + (u₂ + v₂) + … + (u_n + v_n) +… (представляющий сумму данных рядов) также сходится, и его сумма равна S₁ + S₂.

3) Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

4) Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при n→∞ остаток ряда стремился к нулю, т.е. чтобы lim r_n = 0.

54. Необходимое условие сходимости числового ряда.

Если ряд сходится, то предел его общего члена u_n при n→∞ равен нулю, т.е. lim u_n = 0.

Выразим n-й член ряда через сумму его n и (n-1) членов, т.е. u_n = S_n – S_n-1. Так как ряд сходится, то lim S_n = S и lim S_n-1 = S. Поэтому lim u_n = lim (S_n – S_n-1) = limS_n – limS_n-1 = S – S = 0.

55. Признаки сходимости Д’Аламбера и Коши.

Д’Аламбер:

Пусть для ряда ∑ u_n с положительными членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену lim u_n+1 / v_n = k ≠ 0, то ряды одновременно сходятся либо расходятся.

Коши:

56. Интегральный признак сходимости числового ряда.

Пусть дан ряд ∑ u_n, члены которого положительны и не возрастают, т.е. u₁ ≥ u₂ ≥ … ≥ u_n ≥… , а функция f(x), определенная при x ≥ 1, непрерывная и невозрастающая и f(1) = u₁, f(2) = u₂, … , f(n) = u_n, … .

Тогда для сходимости ряда ∑ u_n необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл ∫ f(x)dx.

57. Признак сходимости Лейбница знакочередующихся рядов.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u₁ > u₂ > … > u_n > … и предел его общего члена при n→∞ равен нулю, т.е. lim u_n = 0, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S ≤ u₁.

58. Абсолютная и условная сходимость числового ряда.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

∑ = (-1)^n-1 / n²

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

∑ = (-1)^n-1 / n

59. Степенные ряды Тейлора и Маклорена.

Для того, чтобы ряд Маклорена сходился к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы при n→∞ остаток ряда стремился к нулю, т.е. lim r_n(x) = 0 для всех значений x из интервала сходимости ряда. Если функция f(x) разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора. При выполнении lim r_n(x) = 0 остаток ряда Тейлора равен остаточному члену R_n(x) формулы Тейлора.