18. Непрерывные функции. Теорема Вейерштрасса.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке x₀, (т.е. существует f(x₀)); 2) имеет конечный предел функции при x→x₀ ; 3) этот предел равен значению функции в точке x₀, т.е. lim f(x) = f(x₀).

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim ∆y = 0.

Теорема Вейерштрасса:

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.

21. Производная. Механический и геометрический смысл производной.

Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

y′ = lim ∆y / ∆x = lim f (x + ∆x) – f(x) / ∆x .

Механический смысл производной: производная пути по времени s′(t₀) есть скорость точки в момент t₀ : v(t₀) = s′(t₀).

Геометрический смысл производной: производная f′(x₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x₀, т.е. k = f′(x₀).

24. Производная сложной функции.

Если y = f(u) и u = φ(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной x, т.е. y’ = f’(u) ∙ u’.

Если ограничиться случаями, что при ∆x≠0, ∆u≠0, док-во теоремы можно провести проще исходя из очевидного равенства ∆y / ∆x = ∆y / ∆u ∙ ∆u / ∆x и переходя в нем к пределу при ∆x→0.

25. Производная обратной функции.

Пусть y = f(x) – дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Если переменную y рассматривать как аргумент, а переменную x как функцию, то новая функция x = φ(y) является обратной к данной и, как можно сказать, непрерывной на соответствующем промежутке Y.

Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. x’_y = 1 / y’_x.

29. Теоремы Ферма (необходимое условие экстремума) и Лагранжа.

Ферма: Если дифференцируемая на промежутке X функция y = f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f’(x₀) = 0. Геометрический смысл теоремы: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка X, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Лагранжа: Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [a,b]; 2) дифференцируема на интервале (a,b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ є (a,b), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е. f’(ξ)= f(b)-f(a) / b-a.

Существует хотя бы одна точка внутри отрезка, такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Следствие: Если производная функции f(x) равна нулю на некотором промежутке X, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.