- •1. Понятие множества. Подмножество. Равенство двух множеств. Объединение и пересечение множеств.
- •2. Высказывания. Логические связки и, или, если… то, тогда и только тогда…
- •3. Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные условия.
- •4. Числовая прямая. Открытые и замкнутые промежутки на прямой.
- •7. Уравнения гиперболы и параболы.
- •8. Уравнение прямой на плоскости.
- •9. Множества в r3. Расстояние между точками в r3. Уравнение сферы. Уравнение плоскости.
- •11. Функции (отображения). Область определения и множество значений функции. График функции. Инъекция, сюръекция, биекция. Взаимно обратные функции.
- •13. Функции двух и более переменных. Понятие линий уровня для функции двух переменных.
- •14. Предел числовой последовательности. Понятие бесконечно малой. Теоремы о сумме и произведении бесконечно малых.
- •15. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- •16. Предел монотонной последовательности.
- •17. Предел функции. Определения на языке окрестностей и последовательностей.
- •18. Непрерывные функции. Теорема Вейерштрасса.
- •21. Производная. Механический и геометрический смысл производной.
- •24. Производная сложной функции.
- •25. Производная обратной функции.
- •29. Теоремы Ферма (необходимое условие экстремума) и Лагранжа.
- •30. Правило Лопиталя.
- •31. Производные высших порядков.
- •32. Признаки возрастания и убывания функции.
- •35. Выпуклость графика функции и точки перегиба. Достаточные условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.
- •36. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
- •37. Дифференциал и приращение функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала.
- •38. Частные производные и дифференциал.
- •39. Необходимый признак экстремума функции многих переменных.
- •40. Достаточный признак экстремума функции многих переменных.
- •41. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •42. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •43. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.
- •44. Свойства определенных интегралов.
- •45. Теорема о среднем для определенных интегралов.
- •47. Замена переменной в определенном интеграле.
- •48. Формула интегрирования по частям.
- •49. Вычисление площадей плоских фигур.
- •50. Вычисление объемов.
- •53. Числовые ряды. Сумма ряда. Сходимость числового ряда.
- •60. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
- •69. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •70. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •71. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
36. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
Асимптота графика функции y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Теорема 1. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при x→x0 – 0 (слева) или при x→x0 + 0 (справа) равен бесконечности, т.е. lim f(x) = ∞ или lim f(x) = ∞. Тогда прямая x=x0. является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x). Очевидно, что прямая x=x0 не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке x0, так как в этом случае lim f(x) = f(x0). => вертикальные асимптоты x=x0 следует искать в точках разрыва функции y=f(x) или на концах ее области определения (a,b), если a и b – конечные числа.
Теорема 2. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших x и существует конечный предел функции lim f(x) = b. Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика функции y=f(x). Замечание: если конечен только один из пределов lim f(x) = bл или lim f(x) = bп, то функция имеет лишь левостороннюю y= bл или правостороннюю y= bп горизонтальную асимптоту…..
Теорема 3. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы lim f(x) / x = k и lim [f(x) - kx] = b. Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x). Наклонная асимптота тоже может быть правосторонней или левосторонней.
37. Дифференциал и приращение функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала.
Пусть функция y=f(x) определена на промежутке X и дифференцируема в некоторой окрестности точки x є X. Тогда существует конечная производная lim ∆y / ∆x = f’(x). На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать ∆y / ∆x = f’(x) + α(∆x), где α(∆x) – бесконечно малая величина при ∆x→0, откуда ∆y = f’(x) ∆x + α(∆x) ∆x. => Приращение функции ∆y состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительно ∆x; 2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем ∆x, ибо lim α(∆x) ∆x / ∆x = lim α(∆x) = 0).
Дифференциал функции – главная, линейная относительно ∆x часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy=f’(x) ∆x.
Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в данной точке, когда x получает приращение ∆x.
38. Частные производные и дифференциал.
Дадим аргументу x приращение ∆x, а аргументу y – приращение ∆y. Тогда функция z получит наращенное значение f(x + ∆x, y + ∆y). Величина ∆z = f(x + ∆x, y + ∆y) – f(x, y) называется полным приращение функции точке (x, y). Если задать только приращение аргумента x или только приращения аргумента y, то полученные приращения функции соответственно ∆xz = f(x + ∆x, y) – f(x, y) и ∆yz = f(x, y + ∆y) – f(x, y) называются частными. Частная производная функции нескольких переменных по одной из этих переменных – предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: z’x, z’y или ∂z / ∂x, ∂z / ∂y, или f’x (x, y), f’y (x, y).
Дифференциал функции – сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. dz = z’x ∆x + z’y ∆y.