§ 3.5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами

Для введения комплексного изображения перенесем радиус-вектор, изображающий синусоидальную функцию времени в декартовой плоскости на плоскость комплексных чисел. Для чего совместим ось с осью действительных чисел Re, а ось – с Im.

Любому вектору , расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трех формах:

• алгебраической: ;

• тригонометрической: ;

• показательной: ( – основание натурального логарифма).

Все три формы записи в соответствии с формулой Эйлера равнозначны:

.

Переход от одной формы записи к другой:

,

где – действительная часть;

– мнимая часть.

Запишем в трех формах выражение для единичных действительных и мнимых комплексных чисел ( ):

где , а .

где .

Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока называется комплексным сопротивлением:

.

Модуль комплексного сопротивления, называемый полным сопротивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока, а аргумент комплексного сопротивления – разности начальных фаз напряжения и тока:

.

Закон Ома в комплексной форме соответственно для амплитудных и действительных значений:

.

§ 3.6. Закон Ома в комплексной форме

Рассмотрим часть электрической цепи относительно двух выделенных зажимов, то есть двухполюсников.

Пусть и .

– полное комплексное сопротивление двухполюсников

– полное сопротивление двухполюсника

– сдвиг фаз между напряжением и током

– закон Ома в комплексной форме!

Если комплексную амплитуду разделить на , то получится комплексное число, отличающееся от комплексной амплитуды только модулем. Это выражение называется комплексным действующим значением:

– закон Ома в комплексной форме для действующих значений!

– полная комплексная проводимость двухполюсника

– полная проводимость двухполюсника

Так как , то – тоже закон Ома в комплексной форме.

– закон Ома для комплексных действующих значений.

§ 3.7. Уравнения элементов в комплексной форме

В цепях синусоидального тока напряжение, ток и ЭДС являются переменными во времени. Это означает, что в любой электрической цепи будут происходить процессы, связанные с необратимым преобразованием электрической энергии в энергию магнитного поля или в энергию электрического поля.

Процессы, связанные с необратимым преобразованием электрической энергии в тепловую, отражаются в электрических схемах резистивным элементом:

– параметр элемента (резистивного)

уравнения резистивного элемента.

Процессы, связанные с преобразованием электрической энергии в энергию магнитного поля, отражается в схемах замещения с помощью индуктивного элемента:

– индуктивность (параметр индуктивного элемента)

– уравнение индуктивного элемента.

Процессы, связанные с преобразованием электрической энергии в энергию электрического поля, отражается на схемах с помощью емкостного элемента:

– емкость (параметр элемента)

– уравнение емкостного элемента.

Все уравнение элементов записаны для мгновенных значений.

1. Резистивный элемент

П усть .

Тогда ,

где .

Напряжение и ток в резистивном элементе совпадают по фазе.

То есть – уравнение элемента в комплексной форме.

Замечание 1. Можно записать уравнения для действующих значений и комплексных действующих значений ( ).

Замечание 2. .

Замечание 3. .

2. Индуктивный элемент

Пусть .

Тогда .

, где – индуктивное сопротивление.

– напряжение опережает ток на .

.

.

– уравнение индуктивного элемента в комплексной форме.

Замечание 1. – сдвиг фаз между напряжением и током.

Замечание 2. – индуктивная проводимость. Следовательно: .

3. Емкостной элемент

Пусть .

Тогда:

.

– емкостное сопротивление.

– ток опережает напряжение на .

.

.

– уравнение элемента в комплексной форме.

Замечание 1. – сдвиг фаз между напряжением и током.

Замечание 2. – емкостная проводимость. Следовательно: .