§ 3.2. Комплексная амплитуда
Расчет цепей синусоидального тока с использованием мгновенных значений требует громоздкой вычислительной работы и применим для простейших электрических цепей.
Для расчета цепей синусоидального тока синусоидальную функцию заменяют эквивалентной величиной.
,
где
– мнимая единица.
;
– комплексная
амплитуда.
– сопряженная
комплексная амплитуда.
– поворотный
множитель.
Последняя запись
означает, что синусоидальное напряжение
можно представить на комплексной
плоскости в виде двух векторов, длина
которых равна
и которые равномерно вращаются со
скоростями, равными
в противоположные стороны.
§ 3.3. Действующие значения синусоидальной функции
Действующее значение синусоидальной функции – ее количественная оценка.
Действующие значения – среднеквадратичные за период значения синусоидальной функции, то есть, если:
,
то действующее значение:
.
Аналогично и для тока и ЭДС .
Часто используются выражения, связывающие между собой амплитуду и действующее значение:
.
Действующее
значение –
это постоянная величина, которую обычно
обозначают той же буквой, что и амплитуду,
только без индекса
.
Действующее значение тока оказывает такое же тепловое действие на проводник с сопротивлением , что и переменный ток, в течение времени, равном периоду. Поэтому большинство электроизмерительных приборов фиксируют и реагируют на действующие значения.
§ 3.4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма
Электрическое
состояние переменного тока описывается
уравнениями Кирхгофа. Радиус-вектор,
длина которого равна
,
вращается в декартовой плоскости
координат
против часовой стрелки с частотой
и поворачивается за время одного оборота
на угол
,
то есть
.
Положение радиус-вектора относительно
оси
в момент начала (
)
определяется углом
.
За отрезок времени
радиус-вектор повернется на угол
и его положение относительно оси
определяет угол
.
За время
радиус-вектор переместится на угол
и займет положение, определяемое углом
и т.д. В соответствии с определением
синуса проекция вращающегося радиус-вектора
на ось
определяется:
,
где
– проекция вектора на ось
в момент времени
.
При
(см. рисунок ниже) – рис. а.
Любому равномерно вращающемуся радиус-вектору соответствует некоторая синусоидальная функция, и наоборот.
Посмотрим, как условный графический образ синусоидальной функции – радиус-вектор – может быть применим при расчетах цепей переменного тока. Определим ток:
,
если:
и
.
Как известно, сумма
двух синусоид одинаковой частоты
представляет собой также синусоиду
частотой
,
то есть
и, следовательно, задача сводится к
нахождению амплитуды
и начальной фазы
суммарного тока
.
Искомые параметры
и
можно найти, воспользовавшись известными
тригонометрическими преобразованиями.
Проведем
решение задачи с помощью радиус-векторов
и
,
вращающихся с частотой
,
положение которых для момента времени
показаны на рисунке ниже и осуществим
геометрическое суммирование этих
радиус-векторов по правилу параллелограмма.
Результирующий радиус-вектор
будет вращаться с частотой
и является изображением некоторой
синусоидальной функцией времени.
Следовательно, – геометрическое изображение искомого тока.
Измерив дугу суммарного радиус-вектора и, зная выбранный масштаб, можно определить амплитуду тока. Непосредственно по чертежу определяется и начальная фаза .
Рассмотренная совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.