§ 2.3. Основные свойства линейных электрических цепей

1. Для линейных электрических цепей справедлив принцип независимости действия возбуждающих сил, то есть источников напряжения и тока. Этот принцип называется принципом наложения (суперпозиции). Его формулировка: «Ток в любой ветви электрической цепи равен алгебраической сумме токов, действующих от каждого источника в отдельности». Этот принцип лежит в основе метода наложения.

2. В линейных электрических цепях существует однозначность электрического состояния.

3. В линейных электрических цепях существует линейная зависимость между электрическими параметрами, то есть токами и напряжениями:

,

где – токи в ветвях с номерами ;

– напряжение между точками a и b.

Это свойство лежит в основе метода эквивалентного генератора.

§ 2.4. Методы анализа электрических цепей

Анализ электрических цепей заключается в следующем.

Задана схема электрической цепи (графически или аналитически). Для схемы известны ЭДС всех источников напряжения, токи всех источников тока с их внутренними сопротивлениями или проводимости. Заданы сопротивления всех резистивных элементов схемы. Требуется определить токи во всех элементах электрической цепи.

Отметим:

1. Часто в задании цепи отсутствует и . Это может объясняться следующим: либо и можно пренебречь, либо их значения уже учтены в сопротивлениях соответствующих ветвей.

2. Так как по всем элементам ветви протекает один и тот же ток, то достаточно определить токи во всех ветвях электрической цепи.

3. Зная токи ветвей, можно решить любую другую задачу. Например, найти:

4. Правильность расчета режима электрической цепи проверяется проверкой баланса мощностей.

§ 2.4.1. Метод эквивалентных преобразований

Этот метод применим либо к отдельным участкам сложной электрической цепи, либо к электрической цепи, в которой действует один источник. Проведя по определенным правилам эквивалентные преобразования, можно свести электрическую цепь к виду:

зависит от способа соединения пассивных элементов.

Рассчитать эту схему и, используя законы Кирхгофа и Ома, можно определить обратным ходом токи всех ветвей.

Самостоятельно!!! Рассмотреть: последовательное, параллельное, смешанное соединение и соединения «треугольником» и «звездой».

План каждого соединения:

– схема соединения;

– основные свойства этого соединения;

– формулы эквивалентных преобразований;

– пример.

Книги:

1. Волынский В.А. и др. «Электротехника», 1987 г. (С. 37-41);

2. Электротехника под ред. В. Г. Герасимова. С. 22-27.;

3. Касаткин «Электротехника».

В зависимости от назначения электрической цепи ее элементы (источники, приемники, вспомогательные элементы) могут соединяться различным образом. Существует четыре основных вида соединений элементов: последовательное, параллельное, «треугольником», «звездой» и смешанное.

1. Последовательным называется соединение, при котором ток в каждом элементе один и тот же. При последовательном соединении n пассивных элементов цепи. Схема замещения с n резистивными элементами может быть заменена эквивалентной схемой с одни резистивным элементом.

По 2ЗК:

Например:

2. Параллельным называется соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, то есть находятся под воздействием одного и того же напряжения.

Рис. Схема замещения цепи с параллельным соединением пассивных элементов и ее эквивалентная схема

Ток в каждой ветви определяется напряжением и сопротивлением:

.

Условия эквивалентности будут соблюдены, если ток эквивалентной схемы будет равен току в неразветвленной части цепи, то есть .

В результате получаем:

,

из которой получают формулу для эквивалентного сопротивления:

или для эквивалентной проводимости:

Эквивалентное сопротивление параллельно соединенных элементов обратно пропорционально ее эквивалентной проводимости:

,

поэтому оно всегда меньше наименьшего из сопротивления цепи.

Если параллельно соединены n ветвей с одинаковыми сопротивлениями R , то их эквивалентное сопротивление будет в n раз меньше сопротивления каждой ветви, то есть .

Параллельное соединение обеспечивает одинаковое напряжение на всех включенных приемниках.

3. Смешанное соединение резистивных элементов. При наличии в цепи одного источника внешнюю по отношению к нему часть схемы можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов.

Для расчета такой цепи удобно преобразовать ее схему замещения в эквивалентную схему с последовательным соединением резистивных элементов.

Между узлами a и b включены 3 резистивных элемента с сопротивлениями , и .

После замены параллельного соединения резистивных элементов эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением

получается эквивалентная схема с последовательным соединением двух резистивным элементов и .

Ток в неразветвленной части: .

Токи в параллельных ветвях:

где .

4. В некоторых сложных электрических цепях встречаются соединения элементов, которые нельзя отнести к вышеперечисленным. Типичным примером подобной сложной цепи является мостовая цепь.

Рис. Схема замещения мостовой цепи и ее эквивалентная схема

В этом случае часть цепи образует «треугольник», вершинами которого являются три узла (a, b, c), а сторонами – три ветви с сопротивлениями , , , включенных между этими узлами. Расчет такой цепи удобно проводить, используя эквивалентную замену трех ветвей, соединенных «треугольником», тремя ветвями, соединенными трехлучевой «звездой». При замене соединения «треугольником» ветвей с сопротивлениями , , ветвями с сопротивлениями , , , соединенных «звездой», мостовая цепь преобразовывается в цепь с последовательным и параллельным соединением элементов.

Для определения сопротивления , , ветвей, соединенных «звездой», необходимо найти соотношения, связывающих их с сопротивлениями ветвей, соединенных «треугольником». С этой целью воспользуемся общим условием эквивалентности, по которым напряжения и токи в ветвях, не подвергнутых преобразованию, должны оставаться без изменения в любых режимах, в точности при размыкании ветвей, присоединенных к узлам a, b, c.

При отсоединении ветви с сопротивлением от узла a токи , а также напряжение равны соответствующим токам и и напряжению в схеме (б), то есть сопротивления между точками b и c для обеих схем (а) и (б) одинаковы:

.

При отсоединении ветви от узла с сопротивление между точками a и b для обеих схем по условию эквивалентности должны быть также одинаковы:

.

Аналогично между точками a и c:

.

Решая систему из трех уравнений, получаем:

В ряде случаев схему соединения ветвей «звездой» целесообразно преобразовывать схему соединения ветвей «треугольником». При эквивалентной замене ветвей, соединенных трехлучевой «звездой», ветвями, соединенными «треугольником», сопротивления ветвей «треугольником» можно определить, зная сопротивления ветвей «звезды»:

в случае замены трех одинаковых ветвей, соединенных «треугольником», тремя ветвями, соединенными «звездой», сопротивления новых ветвей будет в три раза меньше сопротивлений прежних ветвей, то есть: