Тема 5. Переходные процессы в линейных электрических цепях.
§ 5.1. Общие сведения
Переходные процессы (режимы) возникают в линейных электрических цепях если в них происходят отключение или включение как отдельных элементов, так и целых участков цепи. Эти переключения называются коммутацией.
Условимся:
1) Будем считать, что все коммутации в цепи происходят мгновенно.
2) Будем изображать все коммутации с помощью контактов:
– замыкающий
– размыкающий
–
переключающий.
3) При анализе переходных процессов в первую очередь оценивается режим цепи после коммутации. Поэтому момент коммутации считаем начальным моментом (t=0).
4) Момент времени перед коммутацией t = 0–, следовательно, t (0–), и после коммутации t = 0+ , соответственно, t (0+).
t (0+) = 0 + Δt
t (0–) = 0 – Δt, где Δt → 0.
5) Процесс перехода состояния цепи от устойчивого режима до коммутации к устойчивому режиму после коммутации называется переходным процессом.
6) Теоретически, все режимы электрической цепи являются переходными, так как время переходного процесса стремится к бесконечности, а практически время переходного процесса можно считать конечным.
§ 5.2. Законы коммутации
1) В индуктивном элементе ток, непосредственно после коммутации (t = 0+) и в момент коммутации (t = 0) сохраняет значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией (t = 0-) и начинает изменяться с этого значения.
- энергия, которая
накапливается или отдается индуктивностью.
2) Напряжением на емкости, непосредственно после коммутации (t = 0+) и в момент коммутации (t = 0) сохраняет значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией (t = 0-) и начинает изменяться с этого значения.
- энергия, которая
может либо возрастать, либо падать, но
не может изменяться скачкообразно.
Замечания:
Во время переходного процесса электрические величины, неопределяемые законами коммутации, могут изменяться скачком
.
Переходные процессы возникают в электрических цепях, содержащих инерционные элементы (либо L, либо C).
Процесс коммутации происходит не мгновенно и сопровождается электрической дугой, однако, этим кратковременным процессом можно пренебречь в цепях невысокого напряжения (до 100 кВт).
§ 5.3. Классический метод расчета переходных процессов
§ 5.3.1. Сущность классического метода
1) Режим электрической цепи после коммутации характеризуется переменными токами и напряжениями и для описания электрической цепи могут применяться законы Кирхгофа для мгновенных значений.
или 
2) Эта система уравнений Кирхгофа и уравнения элементов может быть преобразована к одному дифференциальному уравнению путем подстановки.
Пример:
Преобразовав эту
систему, относительно
:
-
постоянные коэффициенты, зависящие от состава элементов цепи и способов их соединения.
- линейная комбинация
функций времени, определяющая закон
изменения источников.
Таким образом, в
любом случае первоначальная система
уравнений преобразуется к одному
дифференциальному уравнению с линейными
коэффициентами. Порядок этого уравнения
зависит от количества элементов L
и C
и способа их соединения. В общем, случае
это уравнение неоднородное. Уравнения
такого же вида можно было получить,
преобразуя первоначальную систему
относительно любой другой величины
.
3) Общее решение неоднородного дифференциального уравнения складывается как сумма частного неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения.
,
где
- частное решение неоднородного
дифференциального уравнения.
Частное – режим после коммутации (установившийся режим).
Общее – когда правая часть равна нулю (в цепи отсутствует источники) – свободный режим (реально не существует).
4) Установившиеся составляющие общего режима определяются из расчета соответствующего режима цепи.
определяется по
правилам решений дифференциальных
уравнений и ее вид зависит от корней
характеристического уравнения.
,
где
,
- оператор
дифференциального уравнения.
5) Результаты расчета переходного процесса являются один режим электрической цепи, который определяется из общего решения с помощью начальных условий. В качестве начальных условий используются законы коммутации.
Независимые
Н.У.: токи индуктивности и напряжения
на емкости, определяемые режимом
коммутации (
,
и т.д.).
Зависимые Н.У.: 
и
,
которые находятся из законов Кирхгофа,
описывающих цепь после коммутации с
учетом независимых начальных условий.
Сущность классического метода заключается в интегрировании дифференциального уравнения цепи и в определении постоянных интегрирования с использованием законов коммутации.
Замечания:
Дифференциальное уравнение для данной электрической цепи может содержать в качестве переменной любой другой параметр. В любом случае характеристическое уравнение будет одинаковым.
Рассмотренный классический метод с представлением установившейся и свободной составляющих применим только к линейным электрическим цепям.
Физически в электрической цепи существует только переходный режим, а разложение на установившуюся и свободную составляющие является математической абстракцией и облегчает процесс решения.
Для получения характеристического уравнения и определения вида свободной составляющей можно использовать следующий прием:
Изобразить заданную электрическую цепь в режиме после коммутации.
В этой электрической цепи заменить:
Из цепи исключить все источники. При этом источники напряжения закоротить, а источники тока выбросить со всеми последовательно соединенными элементами.
Полученную электрическую цепь разорвать в любом месте (можно относительно зажимов источника) и выразить эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва, используя правило преобразования резистивных цепей.
Приравнять
.
Получим характеристическое уравнение
Пример:
Включение RL-цепи на постоянное напряжение.
Определить:
.
1)
Вид
Характеристическое уравнение:
- общее решение.
- по первому закону
коммутации.
1)
-
постоянная времени переходного процесса.
При
3)
За переходной процесс можно считать завершенным.
Определяем
по
графику.
4, 2, 3 верны для всех остальных случаев.
§ 5.3.2. Короткое замыкание RC-цепи
Дано:
Найдем
1)
При установившемся
режиме
2)
3)
4) A=?
5)
1)
§ 5.3.3. Включение RL-цепи на синусоидальное напряжение
1)
,
где
,
где
2) Вид свободной составляющей не зависит от закона изменения источника.
,
где
3)
4) A=?
5)
§ 5.3.4. Переходные процессы в колебательном контуре (RLC-цепи)
Д
ано:
1)
2)
1 случай:
и
- вещественные и различные (апериодический)
2 случай:
и - комплексно-сопряженные (колебательный)
3 случай:
(критический)
- критическое
сопротивление.
§ 5.4. Операторный метод расчета переходных процессов
§ 5.4.1. Закон Ома в операторной форме
После коммутации запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для начальных значений с учетом элементов.
Применим к этим выражениям преобразования Лапласа.
Тогда с учетом свойств преобразований получим:
- эквивалентное
операторное сопротивление.
- эквивалентная
операторная проводимость.
внешние
ЭДС.
Внешние ЭДС отражают
тот факт, что и моменту коммутации в
элементах L
и C
запасена энергия. Располагаются эти
ЭДС последовательно с соответствующими
элементами, причем
направлена согласно току в индуктивности,
а
направлена навстречу току в емкости.
Тогда исходную схему с учетом уравнения
по закону Кирхгофа для режима после
коммутации можно перерисовать в виде:
Операторная схема замещения.
Для нее как для цепи постоянного тока можно записать второе уравнение по второму закону Кирхгофа:
.
Замечания:
1) Изображение E(p) определяется заданной функцией времени e(t).
Если
,
Если
.
2) В классической постановке задачи расчета переходных процессов заданы: e(t), R, L, C.
Значения внесенных ЭДС:
и
определяются по закону коммутации.