§ 5.4.2. Законы Кирхгофа в операторной форме
По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы равна нулю.
(1)
Применим преобразование Лапласа к уравнению (1) и воспользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений. Имеем:
В общем случае:
(2)
Уравнение (2) выражает собой первый закон Кирхгофа в операторной форме.
Второй закон:
Для любого замкнутого
контура любой электрической цепи можно
составить уравнение по второму закону
Кирхгофа для линейных значений
предварительно необходимо выбрать
положительное направление для токов в
ветвях и направление обхода контура.
Запишем уравнение по второму закону
Кирхгофа для контура, который ниже.
Контур обходим по часовой стрелке.
Учтем, что индуктивности
и
связаны магнитно. При выбранных
положительных направлениях для токов
и
между
и
имеет место согласное включение.
П
адение
напряжения на
равно
;
на
равно
При составлении
уравнения учтем, что начальное напряжение
равно
.
Пусть оно действует согласно с током
.
Начальное значение тока
и тока
.
Имеем
(3)
Каждое из слагаемых (3) заменим операторным выражением:
Подставив (4) в (3),
объединим слагаемые с
,
перенесем в правую часть
и другие внутренние ЭДС и получим:
(5)
Здесь
В более общем случае выражение (5) можно записать так:
(6)
Уравнение (6)
представляет собой математическую
запись второго закона Кирхгофа в
операторной форме. В состав
в общем случае входят и внутренние ЭДС.
§ 5.4.3. Эквивалентные операторные схемы
При расчете
переходных процессов операторным
методом желательно сразу записывать
уравнение Кирхгофа в операторной форме
(для схемы
).
Можно использовать все методы расчета
сложных цепей, которые были введены для
цепей постоянного тока. Каждую систему
уравнений можно записать, составив для
заданной схемы эквивалентную операторную
схему. При ее составлении сохраняется
топология исходной цепи для режима
после коммутации. В каждой ветви с
элементами L
и C
при ненулевых начальных условиях
учитываются внесенные ЭДС. Соответствующие
элементы L
и C
заменяются операторными сопротивлениями.
Переход от исходной схемы к операторной
предполагает следующую замену элемента:
Исходная схема: Операторная схема:
З
начения
и
определяются из режима коммутации:
,
.
В полученной
операторной схеме применяются законы
Кирхгофа или любой из методов, так же
как и для цепи постоянного тока. В
результате получается система уравнений
изображения электрической величины.
Независимыми в этой схеме является
изображение, то есть функции от p.
Из этой системы можно выразить изображение
любой величины (
).
Это изображение всегда является
дробно-рациональной функцией неизвестного
p.
Заключительным этапом расчета является переход от этого изображения к оригиналу. Такой переход можно осуществить, используя обратное преобразование Лапласа или соответствующие таблицы.
В задачах электротехники для этих целей используются: