Теоретический способ. В качестве исходной посылки для получения логического вывода примем два положения:
1) определение ускорения: ускорение – это вторая производная координаты по времени;
2) определение равноускоренного движения: движение называется равноускоренным, если ускорение постоянно.
Отсюда имеем следующее дифференциальное уравнение:
В результате двукратного интегрирования получим при нулевых начальных условиях уравнение
х(t) = a t 2 / 2. (2.1)
Таблица 2.5 |
|||||
Данные экспериментов |
|||||
t |
a |
x |
t |
a |
х |
1 |
1 |
0,5 |
4 |
2 |
16,0 |
2 |
2 |
4,0 |
5 |
1 |
12,5 |
3 |
3 |
13,5 |
6 |
2 |
36,0 |
Эмпирический способ. Проведем серию экспериментов, пуская шары по наклонному желобу, варьируя угол наклона желоба (для изменения ускорения) и его длину (для изменения времени). Получим данные, приведенные в таблице 1.5. Будем искать зависимость пройденного пути х от времени t и ускорения а в виде х = а(Вt 2 + Ct + D). Воспользуемся методом наименьших квадратов для подбора значений коэффициентов A, B, C, D, при которых имеет место максимальное совпадением расчетных и экспериментальных данных. Получаем следующие значения: B = 0.5; C = D = 0, которые соответствуют уравнению (2.1).
Сложность необходимых исследований. Необходимые знания об объекте могут быть получены в процессе предварительных исследований. Обычно для вывода законов или даже выдвижения гипотез объем необходимых исследований должен быть значительно больше, чем для вывода закономерности. Но дело не столько в количественной разнице накопленного материала, сколько в его качественном отличии, поскольку законы и гипотезы призваны объяснить внутренний механизм явлений, а, значит, необходимые исследования намного сложнее тех исследований, которые необходимы для выявления закономерности. Именно поэтому теоретические и эмпирические модели существенно отличаются по показателю сложности необходимых исследований.
Сложность структуры. Поскольку в теоретических моделях речь идет о представлении связей и отношений, характеризующих механизмы исследуемых явлений, то обычно они имеют вид неявных зависимостей типа алгебраических или дифференциальных уравнений, которые еще предстоит решить для получения необходимой модели решения.
Эмпирические же модели получены в ходе наблюдений непосредственно за выходом системы и измерений соответствующих выходных параметров согласно принципу “черного ящика”. В результате математической обработки данных этих наблюдений получается явное выражение, связывающее значения выходных параметров со значениями входных (модель типа вход-выход). Это объясняет разницу в сложности структуры теоретических и эмпирических моделей.
Область адекватности. Область адекватности – набор значений параметров объекта, при которых модель адекватно (достоверно) описывает объект. Отличительной особенностью одного из самых распространенных способов получения эмпирических моделей – метода наименьших квадратов (МНК) состоит в том, что полученное уравнение достаточно хорошо описывает подмеченную закономерность лишь вблизи экспериментальных точек, за пределами же экспериментальной области точность предсказания по модели ниже всякой критики. На рис. 2.6 изображена типичная картина результатов моделирования посредством МНК. Задача состоит в определении зависимости (сплошные линии), адекватно описывающей данные эксперимента (отдельные точки). При первом способе решения этой задачи не использовались первая и последняя экспериментальная точка (синяя линия), при втором способе были использованы все данные эксперимента (красная линия). Как видно, области адекватности построенных моделей существенно отличаются.
То же самое можно сказать и о языковых эмпирических моделях – эвристических правилах и предсказаниях: все они нацелены на решение узкоспециальной проблемы и, как правило, имеют очень узкую область адекватности.
Рис. 2.6. Связь области адекватности модели с областью непосредственных
наблюдений
Теоретические же модели получены в результате кропотливых и глубоких исследований объекта моделирования, выведены из законов природы, всеобщность которых неоднократно проверена и подтверждена. Именно поэтому область их адекватности значительно шире. Известно немало примеров, когда теоретические модели предсказывали явления, доселе никем не наблюдаемые, иногда даже в области значений параметров, в принципе не доступных непосредственному наблюдению. Можно вспомнить предсказания свойств еще не открытых элементов, полученные благодаря периодической таблице элементов, открытие дальних планет солнечной системы “на кончике пера” или открытие позитрона, которому соответствовал “лишний” корень уравнения, полученного П. Дираком.
Таким образом, ясно прослеживается связь между областью адекватности модели и объемом информации, лежащим в ее основе.