Тема 4. Эмпирическое моделирование
4.1. Введение
4.1.1. Что такое статистическое моделирование
Напомним, что эмпирические модели получаются в результате математической обработки данных экспериментов.
Статистическое моделирование – процесс построения эмпирической модели объекта, который имеет следующие особенности:
1) Любой объект моделирования представляется в виде «черного ящика», т. е. системы, в которой исследователю известны только водные данные и выходные, а внутренняя структура объекта неизвестна.
2) Применяется статистический подход – т. е. происходит наблюдение и обработка большого числа экспериментов (в каждом эксперименте происходят ошибки, но при большом количестве экспериментов можно уловить важные закономерности, исследуя какую-нибудь усредненную величину)
ζ
Y
Объект
исследования
– набор (вектор) контролируемых входных параметров;
– неконтролируемые
входные параметры (случайные помехи);
Y– выходной параметр.
3)
Делается допущение об аддитивном
характере выходного параметра, т.е. что
где
– экспериментальное значение y,
– детерминированная (неслучайная)
составляющая, зависящая только от
значений входных параметров;
– случайная составляющая, зависящая
только от значений случайных параметров.
4) Вероятностный характер сделанных выводов и их последствий. Иными словами, после проведения исследований объекта средствами статистического моделирования, должны делаться какие-выводы о свойствах объекта. Их особенность состоит в том, что они в принципе не могут быть верными со 100%-й гарантией, всегда существует малая вероятность их ошибочности.
4.1.2. Основные сведения из теории вероятностей
Def. Случайное событие – некоторое событие, которое в результате опыта при выполнении определённых условий может наступить, а может не наступить.
Замечание. Следует отметить, что с точки зрения исследователя, наблюдающего это события, каждый раз условия опыта абсолютно одинаковы, тем не менее, в одном случае событие наступает, а в другом – нет. Это происходит из-за того, что мы не знаем о существовании каких-то факторов, влияющих на событие, или знаем, но не можем их зафиксировать.
Тем не менее, факт наступления случайного события подчиняется определённой закономерности.
Def. Вероятность случайного события А – величина P(А), 0 P(А) 1, определяющая объективную возможность наступления случайного события. Событие называется достоверным, если при выполнении определённых условий оно всегда наступает, его вероятность равна 1. Событие называется невозможным, если при выполнении определённых условий оно никогда не наступит, его вероятность равна 0.
Def. Случайная величина (СВ) – это величина, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, неизвестные заранее.
Случайная величина может принимать такие значения, которые можно перенумеровать – х1, х2 и т.д. Такие случайные величины называются дискретными. Пример – число очков, выпадающих на игральной кости. Непрерывными называются СВ, возможные значения которых заполняют сплошь некоторую область числовой оси. Пример – значение температуры некоторого тела.
Def. Закон распределения случайной величины – это любое соотношение, устанавливающее связь между возможным значением случайной величины и соответствующей вероятностью принятия этого значения.
Законы распределения имеют следующие формы.
Для дискретной СВ необходимо задать соответствие между возможными значениями = х1, = х2, … случайной величины и вероятностями Р( = хi) = pi, с которой эти значения принимаются. Задать это соответствие можно таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
Пример. Пусть бросаются две игральные кости. СВ – число выпадений «орла». Очевидно, возможны следующие значения : х1 = 0; х2 = 1; х3 = 2. Несложно подсчитать, что соответствующие вероятности равны: р1 = 1/4; р2 = 1/2; р3 = 2. Составим таблицу:
хi |
0 |
1 |
2 |
рi |
1/4 |
1/2 |
1/4 |
которая представляет собой табличное задание закона распределения СВ = (число выпадения «орла» на двух игральных костях).
Для непрерывной СВ существуют следующие формы записи закона распределения: функция распределения и плотность распределения.
Def. Функцией распределения случайной величины называется функция F(х) = F (х) = P( < x), которая определяет вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше фиксированного неслучайного числа x, т.е. наступит событие < x.
Свойства F(x).
1. F(х) – неубывающая функция, удовлетворяющая условию 0 F(x) 1, F(–) = 0, F() = 1.
2. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [a, b] равна: P(a b) = F(b) – F(a).
Def. Плотностью распределения случайной величины называется функция f(x) = f (x) = F’(х).
Свойства f(x).
1. 0 f(x) для любого х.
2.
Формула обращения:
.
3.
–
аналог свойства 2 F(x).
4.
–
условие нормировки.
Числовые характеристики случайной величины. Закон распределения СВ является её исчерпывающей характеристикой. Однако получить его достаточно трудно. Поэтому часто для изучения свойств СВ используют их числовые характеристики (параметры).
Def. Числовые характеристики (параметры) СВ – некоторые неслучайные величины, значения которых характеризует определённое свойство СВ.
Примеры параметров СВ.
1. Математическое ожидание (МО) – характеризует среднее значение, принимаемое СВ (центр тяжести).
Вычислительные формулы:
М[]
= m
=
–
для дискретной СВ;
М[]
= m
=
– для непрерывной СВ.
2. Дисперсия. – характеризует среднюю величину разброса значений СВ относительно МО.
Вычислительные формулы:
D[]
=
–
для дискретной СВ;
D[]
= D
=
– для непрерывной СВ.
Примеры основных законов распределения непрерывных СВ.
1. Равномерный закон – вероятностная характеристика случайной величины , равномерно распределенной на интервале [a, b]. Плотность распределения имеет вид:
Вероятность попадания значений СВ в любую область длины из отрезка [a,b] равна /(b-a) и, следовательно, не зависит от размещения этой области в пределах отрезка [a,b].
Функция распределения СВ
Математическое
ожидание:
;
дисперсия:
.
2. Нормальный закон. СВ распределена по нормальному закону с параметрами m и ( >0), если ее плотность имеет вид
Известно, что М[]=m, D[]=2.
График:
