- •Тема 1. Предмет математического моделирования
- •1.1. Значение моделирования.
- •1.2. Современная трактовка понятия “модель”
- •Тема 2. Классификация математических моделей
- •2.1. Декларативные и процедурные модели
- •2.2. «Черный ящик», структурные и функциональные модели
- •Индикатор
- •Процедурные модели
- •2.3. Модели описания, решения, алгоритмические, программные
- •2.4. Модели синтеза, анализа и выбора
- •2.5. Теоретические и эмпирические модели
- •Теоретический способ. В качестве исходной посылки для получения логического вывода примем два положения:
- •2.6. Познавательные и прагматические модели
- •2.7. Модель и реальность: различия и сходства
- •2.7.1. Различия.
- •2.7.2. Сходства.
- •Тема 3. Теоретическое моделирование
- •3.1. Непрерывные детерминированные системы
- •3.2. Методы решения дифференциальных уравнений
- •3.3. Линейное программирование
- •Тема 4. Эмпирическое моделирование
- •4.1. Введение
- •4.1.1. Что такое статистическое моделирование
- •4.1.2. Основные сведения из теории вероятностей
- •4.1.3. Основные понятия математической статистики
- •4.2. Метод моментов вычисления статистических оценок
- •4.3. Регрессионный анализ: синтез уравнения регрессии
- •4.4. Проверка статистических гипотез
- •4.5. Типовые распределения вероятностей
- •4.6. Регрессионный анализ: исследование свойств уравнения регрессии
3.2. Методы решения дифференциальных уравнений
Само по себе дифференциальное уравнение не имеет однозначного решения. Чтобы получить его, надо помимо самого уравнения задать дополнительные условия. По типу дополнительных условий различают одноточечные и многоточечные задачи. В одноточечных задачах все условия задаются в одной точке (при одном и том же х). Обычно это начальная точка х0. В этом случае говорят, что поставлена задача Коши.
Пример 3.1. Задача Коши:
.
В многоточечной задаче дополнительные условия задаются в нескольких точках. Часто это границы отрезка определения решения. Тогда говорят, что поставлена краевая задача.
Пример 3.2. Краевая задача:
.
Несложно убедиться, что задачи примеров 3.1 и 3.2 имеют одинаковое решение у = 1.125 е2х – 0.125 е– 2х – 2х.
Наиболее важной является задача Коши для уравнения 1-го порядка – к ней сводятся многие другие задачи.
Аналитическое решение ОДУ – это аналитически заданная функция у(х) (см. примеры 3.1 и 3.2). Численное решение – таблица значений функции у(х) в дискретных точках (в узлах). Так, численным решением задач рассмотренных примеров является таблица 3.1.
Таблица 3.1 |
|||||||
Численное решение примеров 3.1 и 3.2 |
|||||||
х |
0 |
0.2 |
0.4 |
… |
1.6 |
1.8 |
2.0 |
у |
1 |
1.1945 |
1.6476 |
… |
24.3940 |
37.5696 |
57.4206 |
Опишем два простейших метода получения численного решения задачи Коши для уравнения 1-го порядка. Пусть дифференциальное уравнение разрешено относительно . Имеем задачу:
. (3.1)
Все численные методы решения задачи (3.1) в качестве основного блока имеют некую процедуру вычисления значения уi+1, если известно уi и некоторые другие параметры. Т.е. вначале задаётся точка (х0, у0), по ней вычисляем точку (х1, у1), затем тем же способом вычисляем (х2, у2), и т.д. до конца таблицы.
Пусть h – шаг по х в таблице численного решения. Из определения производной имеем приближённую формулу:
. (3.2)
Согласно уравнению (3.1) . Обозначим y(x) = уi, y(x + h) = уi+1. Тогда из (3.2) имеем следующую расчётную формулу:
уi+1 = уi + hf(x, уi). (3.3)
Полученная формула представляет собой простейший метод численного решения задачи Коши для уравнения 1-го порядка, называемый явным методом Эйлера.
Метод (3.3) является недостаточно точным и используется обычно только для каких-нибудь прикидочных расчётов. В более точном методе сначала по формуле (3.3) получают так называемое прогнозируемое значение уi+1, которое затем уточняют:
= уi + h f(хi , уi); уi+1 = уi + [ f(xi, уi ) + f(xi + h, ) ], (3.4)
Этот метод называется модифицированным методом Эйлера, он позволяет достаточно просто получить уже весьма точное решение.
На рис. 3.3. представлены численное и аналитическое решение следующей задачи Коши:
. (3.5)
Здесь f(x, y) = y2 + 1. Аналитическое решение задачи y = tg x.
Рис. 3.3. Сравнение численного и аналитического решения задачи (3.5)
Пример. На вход аппарата идеального смешения объёма V подаётся раствор вещества концентрации с объёмным расходом u м3 / сек (Рис. 3.4). Составить модель, описывающую изменение концентрации вещества на выходе аппарата.
V
u
м3
/ сек
Y
вх =1/(t+1)
Y
Рис. 3.4. Аппарат идеального смешения
Решение. Составим уравнение баланса количества вещества на входе и выходе аппарата за время от t до t + t. Исходное уравнение:
Q_накопл = Q_входн – Q_выходн, (3.6)
где Q_накопл = [y(t+t) – y(t)]V; Q_входн = y_вхut; Q_выходн = yut.
Разделим (2.6) на t и перейдём к пределу при t 0. Получим следующее дифференциальное уравнение
,
которое и является искомой моделью процесса. Решение этого уравнения модифицированным методом Эйлера см. файл «Теоретич_МОДЕЛИР.xls» лист «Аппарат».