3. Апериодическое звено 2-го порядка

Диф. Уравнение звена имеет вид:

Операторное уравнение:

Разложим левую часть на множители:

, где и Т₄>Т₃

Тогда передаточная функция звена:

(1)

Очевидно, что Т₃, Т₄ могут быть как вещественными, так и комплексными.

При ; , корни будут вещественными, звено апериодическим 2-го порядка.

При <0; Т₁<2Т₂, корни будут комплексными, звено колебательным.

При Т₁=0 корни будут мнимыми, звено консервативным.

Из выражения (1) следует, что апериодическое звено 2-го порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям 1-го порядка, включенным последовательно.

Переходная функция звена:

Рис. 9.6. Временная характеристика звена

Частотные характеристики:

Построим асимптотическую ЛАХ звена:

, Т₄>Т₃

1. При ω<(1/Т₄)<(1/Т₃)

2. При (1/Т₄)<ω<(1/Т₃)

3. При ω>(1/Т₃)>(1/Т₄)

Рис. 9.7. Асимптотическая ЛАХ звена

4. Колебательное звено

Диф. уравнение звена такое же как и у апериодического 2-го порядка:

Пример:

Рис. 9.8. Примеры колебательных звеньев:

а) R,L,C – колебательный контур;

б) механическая система ( m – масса;

с – коэффициент упругости пружины;

λ – коэффициент демфирования).

Характеристическое уравнение звена:

При <0 или Т₁<2Т₂. В этом случае отношение называют постоянной затухания ( коэффициент демфирования) колебательного звена.

При - колебательное звено; λ≥1 – апериодическое 2-го порядка; при λ=0 – консервативное.

Корни характеристического уравнения:

где - коэффициент затухания;

;

ω – частота собственных колебаний звена;

ω_с=1/Т₂ – угловая частота свободных колебаний при отсутствии затухания (λ=0).

Переходная функция колебательного звена:

(2)

Весовая функция:

(3)

Рис. 9.9 Временные характеристики колебательного звена.

Уравнения (2), (3) характеризуют затухания во времени синусоидальных колебаний выходной величины с частотой .

Затухание этих колебаний определяется величиной коэффициента затухания α.

Из рис. 9.9 следует, что чем меньше α, тем больше колебательность переходного процесса.

Колебательность можно оценивать по степени затухания Ψ, равной отношению разности двух соседних положительных амплитуд к большей из них:

Из рис. 9.9 =>

=>

(4)

Чем ближе к единице Ψ, тем быстрее затухают колебания перех. процесса.

Частотные характеристики:

КЧХ:

При ;

Рис. 9.10 Частотные характеристики звена

Построим асимптотическую ЛАХ звена

Здесь сопрягающая частота

1) При (при ω→0)

2) При (при ω→∞)

(-40)

Рис. 9.11 Асимптотическая ЛАХ звена.

[5] Консервативное звено

Является частным случаем колебательного звена.

При , =>

Тогда передаточная функция:

Переходная функция звена (из (2) [4])

Рис. 9.12 Временные характеристики звена

КЧХ звена:

Рис. 9.13 Частотные характеристики

АФХ начинается на вещественной оси в точке и при подходе к частоте со стороны меньших значений уходит в бесконечность в положительном направлении вещественной оси. При дальнейшем увеличении частоты характеристика возвращается из бесконечности и стремится к началу координат слева.

Таким образом при АЧХ имеет разрыв, который соответствует бесконечному возрастанию амплитуды, а ФЧХ скачком изменяет свое значение от 0 до –180°.

Рис. 9.14 ЛАХ звена.