§ 3. Передаточные функции линейных звеньев.

рассмотрим динамическое звено, которое находится под воздействием полезного сигнала Х(t) и возмущение f(t)

тогда его динамика описывается ЛДУ вида:

(1)

преобразуем (1) по Лапласу при нулевых начальных условиях

(2)

)= )+ )

)

)-операторные полиномы с постоянными коофициентами

Y(p),X(p),F(p)- изображение функции y(t),x(t),f(t) соответственно.

Передаточной функцией звена, по какому либо внешнему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу рассматрива6емого воздействия, при этом все другие внешние воздействия полагаются равными нулю.

Из определения следует, что для любого звена с одной выходной величиной число передаточных функций равно числу внешних воздействий.

Тогда для рис.1 передаточная функция звена по полезному сигналу, при X(p)=0:

= (3)

передаточная функция звена по возмущающему воздействию , при X(p)=0:

(4)

из уравнений (3) и (4) следует, что

(5)

как следует из (5) передаточная функция является оператором звена, т.к. не определяет выходной сигнал по входному.

при выводе формулы 3 и 4 конкретный вид функций x(t) и f(t) не оговаривался.

ВЫВОД 1: передаточная функция звена, по какому либо внешнему воздействию не зависит от закона изменения этого воздействия и определяется только свойствами самого звена.

ВЫВОД 2: передаточные функции линейных звеньев являются дробно рациональными функциями комплексной переменной p,числитель и знаменатель которых представляют собой многочлены относительно p с вещественными коофициентами , взятыми из исходного ДУ(1).

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Многочлен N(p),фигурирующий в знаменателе передаточных функций звена, называют характеристическим полином этого звена, а уравнение

Характеристическим уравнением звена. Оно представляет собой алгебраическое уравнение n-й степени и имеет n корней, среди которых могут быть как вещественные, так и комплексно-сопряженные.

Корни характеристического полинома называют полиномами передаточной функции, корни многочлена стоящего в числителе передаточной функции – нулями этой передаточной функции

ВЫВОД 3. Так как передаточная функция звена однозначно определяется из его ДУ, то ее можно считать ММ-звена.

В структурной схеме системы элементы в основном определяются ПФ-ми.

Если известны для звена на рис 1, то изображение выходной величины

Или (6)

Соотношение (6) удобно представить в виде структурной схемы звена (рис 2)

ПРИМЕР 1: ДУ звена имеет вид:

(7)

Найти ПФ звена. Получить структурную схему.

РЕШЕНИЕ: По ДУ (7) составим операторное уравнение, используя преобразование по Лапласу и его свойства.

Полагая F(p)=0, найдем ПФ по полезному ? .

Полагая X(p)=0, найдем ПФ по возмущению:

Структурная схема звена в рис 2.

ПРИМЕР 2. Структурная схема звена (рис. 2). ПФ-и определяются по выражениям:

Найти ДУ звена.

РЕШЕНИЕ:

Операторное уравнение звена?:

Применяя обратное преобразование Лапласа и его свойства, получим ДУ:

§ 4. Алгебра передаточных функций. Основные соединения линейных звеньев.

Правила, позволяющие определить ПФ системы в целом по ПФ отдельных элементов, составляют алгебру ПФ.

Существуют три типа основных соединений звеньев: последовательное, параллельное и обратное.

Последовательным, называют такое соединение двух или нескольких звеньев, при котором выходная величина предыдущего звена является входной величиной последующего (рис 4.1)

По рисунку 4.1 получим операторные уравнения выходных сигналов элементов соединения

(уравнения связи):

Исключая из уравнений промежуточную переменную получим:

Откуда ПФ соединения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ПФ последовательного соединения элементов равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.

Где ПФ i-го звена,n- количество звеньев.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ называют такое соединение двух или нескольких звеньев, при котором входная величина у всех звеньев одна и та же, а выходные величины их суммируются (рис 4.2)

Найдем операторные уравнения для выходных сигналов элементов соединения:

(

Значит

В общем случае при параллельном соединении n элементов:

ПФ параллельного соединения равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

ОБРАТНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ двух элементов или соединением обратной связи называют соединение, при котором выходная величина одного звена подается обратно на его вход через другое звено (рис 4.3)

Звено с ПФ , стоящие в прямой цепи, называется звеном, охватываемым ОС.

Звено с ПФ , стоящее в цепи обратной связи называют звеном обратной связи.

«+»

Для ООС

«-» для ПОС.

Важным частным случаем является единичная ООС когда