Влияние кривизны Земли на измерение горизонтальных и вертикальных расстояний
Для геометрического анализа меры влияния кривизны Земли на измерения горизонтальных расстояний на поверхности сфероида возьмём шар, равновеликий по объёму земному эллипсоиду, с радиусом R и в точке А проведём касательную АС (рис. 2)
Соединив
прямой точку С с центром шара (окружности)
О, на его поверхности получим точку В.
Допустим, что на поверхности шара
измерено расстояние АВ (d).
Тогда центральный угол
будет равен
в радианной мере
.
Если допустить, что на данном участке
местности была измерена не кривая АВ,
а прямая АС, то, видимо, в длине этих
линий будет иметь место некоторое
расхождение d
= T-
d.
В свою очередь, Т = Rtg и d = R или d = R(tg - ). Разложив тангенс в функциональный ряд и ограничившись двумя первыми членами его, получим
d
= R(
+
- )
или
.
Так
как измерения ведутся непосредственно
на земной поверхности, то угол
следует заменить
через d/R.
Тогда будем иметь
.
(2)
/2
A T C
d
h
R B
O
Рис. 2. Схема влияния кривизны Земли на измерения расстояний
Если допустить, что длина линии АВ равна 10 км, а радиус шара 6371км, то величина искажения (d) в длине линии из-за неучтенного влияния кривизны Земли будет равно примерно 1 см. Величина d называется абсолютной погрешностью определения длины (d) данной линии.
Абсолютные погрешности линейных измерений слабо характеризуют их с качественной стороны. Действительно, например, абсолютная погрешность измерения какой-либо линии равна 20 см. Хорошо или грубо измерена данная линия? Без сравнения со всей измеряемой длиной на это ответить затруднительно. К примеру, измерялась длина стола и была допущена абсолютная погрешность в измерении 20 см. Как же может быть оценено данное измерение, если длина стола составила 1,5 м? Очевидно, что данное измерение выполнено очень грубо. С другой стороны, с такой же абсолютной погрешностью было измерено расстояние до Луны (300 000 км). В этом случае, какую оценку можно дать нашему измерению? Очевидно, как отличную. Поэтому линейные измерения характеризуются, как правило, относительными погрешностями то есть отношением абсолютной погрешности ко всей измеряемой длине
. (3)
Относительная погрешность всегда выражается простой дробью, в числителе которой пишется единица, а в знаменателе число, полученное при делении всей длины на абсолютную погрешность.
В данном примере при измерении длины линии в 10 км под влиянием неучтённой кривизны Земли была допущена погрешность в 1 см.
Подставляя эти значения в формулу (3), получим относительную погрешность
.
По теории вероятности такая погрешность считается исчезающе малой величиной, а в геодезической практике её вообще не принимают во внимание.
Отсюда следует, что территория земной поверхности диаметром 20 км (10 км в одну сторону и 10 км в другую) может быть принята за плоскость.
Что касается влияния кривизны Земли на измерения вертикальных расстояний (h), то из анализа рис. 2 видно, приняв h за дугу радиуса d,
h
=
d
или, с учётом =d/R, будем иметь
.
(4)
Если допустить, что расстояние между точками А и В составляет всего лишь 1 км, то ошибка в вертикальной длине составит 8 см, а при расстоянии 3 км составит уже 71 см.
В инженерной практике ошибка в определении высот допускается на 1 км хода не более 2-5 см. Отсюда следует, что даже при небольших горизонтальных расстояниях между точками не следует пренебрегать кривизной Земли.